Линейное програмирование Задачи линейного программирования лесной промышленности.

Многочисленные задачи принятия решений, которые возникают при управлении процессами лесозаготавливающих и лесообрабатывающих комплексов можно сформулировать в виде задач математического программирования. Другими словами для этих задач мы можем построить математические модели, исследуя которые мы можем принимать то или иное производственное решение. Как правило, стараются получить оптимальное в том или ином смысле решение. Ряд таких математических моделей представляет собой линейную целевую функцию и линейные ограничения. Такие задачи – задачи линейного программирования.

Мы рассмотрим основные типы задач, которые возникают в лесопромышленном комплексе. При решении производственных задач математическими методами следует выделить следующие этапы:

правильно сформулировать производственную задачу;

по производственной задаче записать ее математическую модель;

математическими методами решить данную задачу;

используя полученное решение принять правильное производственное решение.

Задача оптимального распределения ресурсов

Пусть в лесопромышленном хозяйстве имеется m видов ресурсов с запасами соответственно (пиловочник, энергоресурсы и т.д.) и пусть предприятие выпускает n видов продукции . На производство единицы продукции затрачивается единиц ресурса, причем от реализации единицы продукции предприятие получает единиц прибыли. Требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы предприятие получало максимальную прибыль.

Составим математическую модель данной задачи. Для чего все исходные данные запишем в виде таблицы.

Обозначим через количество единиц продукции . Тогда суммарная прибыль, которая получится при выпуске продукции:

(1)

(2)

Таким образом, математическая модель данной производственной задачи представляет собой максимизацию линейной функции (1) при линейных ограничениях (2)

Задача оптимального раскроя

Рассмотрим следующую задачу. Пусть у нас имеются бревна длиной L(м) и нам требуется раскряжевать эти бревна на заготовки длиной в количестве . Раскряжевку мы можем производить n способами. Причем при раскряжевке по j-ому способу мы получаем , заготовок длиной и отходы при этом составляют . Нужно составить такой план раскряжевки, при котором заказ будет выполнен при минимальных отходах.

Все исходные данные запишем в виде таблицы.

Обозначим через количество бревен распиленных по j-ому варианту. Тогда суммарные отходы будут равны

(3)

При этом мы должны выполнить план по количеству заготовок

(4)

Здесь математическая модель представляет собой нахождение минимума функции (3) при линейных ограничениях (4), причем ограничения заданы в виде строгого равенства.

Задача оптимальной загрузки оборудования.

Пусть тарный цех лесозаготовительного предприятия изготовил n видов тарных комплектов. На производство каждого вида тарных комплектов занято последовательно m различных групп оборудования. При изготовлении одного тарного комплекта j-ого вида затрачивается

Единиц оборудования i-ой группы. Всего в цеху имеется в наличии единиц оборудования i-ой группы . При реализации одного комплекта j-ого вида предприятие получает единиц прибыли. Требуется составить такой план загрузки оборудования, чтобы прибыль была максимальной.

Все исходные данные запишем в виде таблицы.

- количество комплектов по каждому из видов.

(5)

(6)

Наша задача свелась к нахождению максимума функции (5) при линейных ограничениях (6)

К задачам линейного программирования сводятся и другие задача: задача о составлении сырьевых смесей и целый ряд других задач.

Пусть имеется m заводов производящих видов некоторой продукции с объемами производства соответственно. Имеется n пунктов потребителей этой продукции с объемами производства соответственно. Причем объемы производства (1). Выполняется так называемое условие баланса. И пусть - стоимость перевозки единицы продукции от производителя к потребителю . Требуется составить такой план перевозок чтобы:

вся продукция была вывезена;

все потребности были удовлетворены;

суммарные транспортные расходы были минимальные.

Составим математическую модель данной транспортной задачи. Обозначим через объем продукции перевозимой от завода к потребителю . Тогда транспортные расходы представляют собой (2). Ограничения:

вся продукция была вывезена: (3)

все потребности должны быть удовлетворены:

Таким образом, математическая модель транспортной задачи состоит в том, чтобы найти минимум линейной функции (2) при ограничениях (3) и (4)

23.