Пуассоновский и простейший потоки. Потоки Пальма и Эрвина.

Среди всех потоков событий особое место занимают так называемые потоки Пуассона, использование которого облегчает решение многих прикладных задач теории массового обслуживания.

Поток Пуассона

Поток Пуассона – поток, обладающий двумя свойствами: ординарностью и беспоследействием.

В курсе теории вероятностей доказывалось, что для Пуассоновского потока число событий приходящихся на промежуток времени вычисляется по формуле Пуассона:

- среднее число событий поступающих на интервал времени , принадлежащий к моменту времени t. Другими словами – математическое ожидание.

Если Пуассоновский поток является регулярным, т.е. , то . Другими словами среднее число событий равно произведению интенсивности на длину промежутка времени :

Простейший поток – стационарный Пуассоновский поток, обладающий тремя свойствами:

ординарность

беспоследействие

стационарность

Поток назван простейшим, потому что применение простейших потоков к анализу различных систем массового обслуживания приводит к наиболее простым результатам. На практике потоки событий являются если не простейшими, то их можно свести к простейшим.

Не трудно показать, что для стационарного потока промежутки времени, т.е. интервалы между двумя случайными событиями распределены по показательному закону распределения: , математическое ожидание ,

, .

Следующей ступенью сложности по сравнению с простейшим потоком является Поток Пальма.

Поток Пальма – ординарный поток событий, в котором интервалы времени представляют случайные величины (независимые и одинаково распределенные).

Поток Эрвина.

Его получают путем особого преобразования (прореживания). Это преобразование осуществляется путем выбрасывания из простейшего потока некоторых событий.

Пример:

Пусть имеется простейший поток. Мы из него последовательно выбрасываем каждое второе событие (поток Эрвина первого порядка).

Если выбрасывать два события, а оставлять третье, то поток второго порядка, и т.д.

Поток k-ого порядка – поток событий, получающийся из простейшего потока, когда сохраняется каждое k-я точка (событие), а промежуточные точки выбрасываются.

28

Предельная теорема теории потоков

Из теории вероятностей известна центрально-предельная теорема, которая гласит, что если складывается достаточно большое число независимых случайных величин, подчиненных определенным условиям, то их сумма будет распределена по нормальному закону распределения. Поэтому нормальный закон распределения широко распространен в природе и используется в практике. Аналогичную роль в теории массового обслуживания играет Пуассоновский поток событий.

В большинстве исследований предполагают, что потоки событий, определяющие процесс, являются Пуассоновскими. Данное допущение делается не только потому, что это упрощает исследования, но потому, что во многих случаях оно близко к истине. Пуассоновские потоки – предельные потоки для других потоков событий. Если поток получила в результате сложения большого числа потоков, то полученный поток в достаточно широком диапазоне условий является Пуассоновским или близким к нему.

Пример:

Техническое устройство состоит из многих элементов, работа которых необходима для работы всего устройства. В этом случае поток отказов каждого из элементов будет влиять на работу технического устройства, а поток отказов всего устройства равен сумме отказов его элементов и поэтому будет являться Пуассоновским.

Если взять поток событий и случайным образом проредить этот поток, то после нескольких прореживаний мы получаем Пуассоновский поток.

Пример:

Поток годных изделий получается из потока всех изделий, если выбраны негодные изделия.

Предельная теорема для суммарного потока: сходимость суммы независимых, ординарных и стационарных потоков просто сходится к простейшему потоку. При этом условия приблизительно такие же, как и условия, наложенные на случайную величину в теории вероятностей:

складываемые потоки должны оказывать более или менее одинаковое влияние на суммарный поток:

с увеличение числа слагаемых потоков интенсивность не должна стремиться к 0.

Важно отметить, что сходимость суммарного потока довольно быстрая практически. Можно считать, что сложение 4-5 ординарных стационарных одинаковых потоков, сравнимых по интенсивности, дает простейший поток.

25.