Нормальная кононическая форма задач линейного программирования

Задачи линейного программирования в нормальной форме – задачи нахождения минимума или максимума линейной функции (1) при линейных ограничениях (2) .

Функция (1) – целевая функция, неравенства (2) – ограничения.

Часто для удобства записи задачу линейного программирования записывают в матричной форме. Для этого введем в рассмотрение следующие обозначения:

- вектор переменных

- вектор стоимости.

- вектор ограничения.

- вектор условий.

И введем в рассмотрение матрицу условий . Тогда задача линейного программирования в нормальной форме примет вид (3) при ограничениях (4).

Наряду с нормальной формой задачи линейного программирования, рассматривают каноническую форму задачи линейного программирования. Она записывается в следующем виде:

(5) при ограничениях (6).

Две формы задач линейного программирования отличаются друг от друга лишь типом ограничений. В первом случае ограничения представляют собой нестрогие неравенства, а во втором случае – строгие равенства. Заметим, что две формы задач линейного программирования эквивалентны между собой. Любую задачу линейного программирования в нормальной форме можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме и наоборот. Действительно: пусть у нас задача задана в нормальной форме в виде (1,2). В первое уравнение ограничения (2) мы добавим свободную переменную такую, чтобы было строгое равенство, во второе и т.д. В последнее - . В результате чего мы получим следующую задачу:

(7)

А ограничения будут таковы:

(8)

Здесь , - целевые переменные.

Поскольку им соответствуют коэффициенты равные 0, то они не влияют на значение целевой функции. Наоборот, пусть задача линейного программирования задана в канонической форме, тогда любое ограничение можно записать как систему неравенств

Замечание: заметим, что задачу минимализации целевой функции Z можно рассматривать как задачу максимизации –Z т. т min(Z)=max(-Z) и поэтому обычно задачу линейного программирования рассматривают как задачу максимизации .

24.

Геометрический метод решения задач линейного программирования.

Графический метод применяется для решения задач линейного программирования, когда число переменных равно 2 и задача линейного программирования записана в нормальной форме. В этом случае задача линейного программирования имеет вид:

(1)

При ограничениях

(2)

Решение каждого из неравенств представляет собой полуплоскость, определяющую данное неравенство. Нам нужно провести прямую , после чего взять произвольную точку не лежащую на данной прямой. Обычно в качестве такой точки берут начало координат. Если координаты этой точки удовлетворяют заданному неравенству, то решением является полуплоскость от проведенной прямой, в которой лежит данная точка. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением является противоположная полуплоскость. А решением всей системы неравенств является выпуклая многоугольная область на плоскости.

Крайние точки – вершины этой области.

Область допустимых решений – данная область.

Область допустимых решений может представлять собой:

Пустое множество

Одна точка

О граниченный многоугольник

Неограниченная область

Целевая функция (1) задает на плоскости семейство параллельных прямых соответствующих различным значениям Z, которые еще называют линиями уровня.

Причем значения целевой функции возрастают в направлении возрастания градиента . Если мы будем двигаться в направлении вектора N, то значения целевой функции возрастают и наоборот. Таким образом, чтобы решить задачу линейного программирования нам надо найти такую точку области допустимых решений, через которую проходит прямая вида соответствующая наибольшему значению Z. Следовательно, для графического метода решения задачи линейного программирования нужно:

Построить многоугольник допустимых решений;

Построить прямую , положив Z конкретное значение (обычно Z=0);

построить из начала координат вектор N;

передвигать прямую в направлении вектора N (или в направлении –N, если ищем min) до тех пор, пока область допустимых значений D не окажется по одну сторону от прямой, и будет иметь с прямой хотя бы одну общую точку (такая прямая – опорная прямая или гиперплоскость)

координаты этой прямой удовлетворяющие опорной прямой и области допустимых решений и будут являться оптимальным решением данной задачи.

В зависимости от области допустимых решений и целевой функции возможны следующие случаи:

1 ) в т. A

на отрезке BC

2 )

решений

нет

3 )

в т. А

4 )

в т. A

5) в т. A в т. В

6)

25.