1.3.3Модели дискретных каналов
Дискретными называются каналы, входные и выходные сигналы которых принимают конечное число мгновенных значений. На рис. 1.7 дискретный канал (ДК) включен между кодером и декодером. Очевидно, что дискретный канал всегда содержит непрерывный, так что искажения сигналов и помехи, действующие в дискретном канале, определяются непрерывным каналом.
Переход от дискретных сигналов к непрерывным на передающей стороне осуществляется модулятором; на приемной стороне дискретные сигналы появляются на выходе демодулятора. Поэтому дискретный канал всегда содержит модем.
Таким образом, свойства дискретного канала определяются непрерывным каналом и структурой модема.
ДК задается множеством входных {si}, i = [1,LS] и выходных {yj}, j = [1,Ly] символов длительностью Т и условными вероятностями P(yj /si) преобразования входных символов в выходные. Здесь LS и Ly – объемы алфавитов входных и выходных символов. В общем случае Ly LS, однако, обычно Ly = LS = m .
Для дискретных каналов широко используется представление принятой последовательности символов Y = {y1, y2, y3, …, ym} в виде суммы переданной последовательности S={s1, s2, s3, …, sm} и комбинации помехи (вектора ошибки) E = {e1, e2, e3, …, em}
Y = S E, (1.23)
где знак означает поразрядное сложение по модулю LS.
В бинарном случае (LS = 2) нулевой символ вектора ошибки ei = 0 означает, что i-й символ принят правильно (yi = si), а ei = 1 – ошибку в приеме (yi si).
Классификацию дискретных каналов удобно вести по вектору ошибки Е. Наиболее распространены следующие модели.
Канал без памяти – канал, в котором символы ei являются независимыми случайными величинами. Прием каждого символа в таком канале не зависит от предыстории.
Канал с памятью – канал, в котором прием символа зависит от результата приема предыдущего символа.
Стационарных канал – канал, в котором вероятность ошибочного приема символов не изменяется с течением времени.
Двоичные (бинарные) каналы – каналы, сигналы в которых представляются двоичным кодом с символами 0 и 1. Они задаются с помощью графа, представленного на рис. 1.8.
В
ероятности
P(0/0) и P(1/1)
определяют правильный прием символов
0 и 1 соответственно, а P(1/0)
и P(0/1) –
вероятности ошибок при приеме символов
0 и 1.
Симметричным двоичным называется канал, в котором вероятности ошибок при приеме 0 и 1 одинаковы, P(1/0) = P(0/1) = p. Следовательно, P(0/0) = P(1/1) = 1 – p = q, где q - вероятность
Рис. 1.8. правильного приема.
Например, вероятность ошибочного приема символа в трехбитовом сообщении P(000/001)= qq(1-q) = q2p.
Учитывая (1.23), можно записать P({yi}/{si}) = P({ei}/{si}) = P({ei}), ei {0,1}, т.е. вероятность трансформации символов определяется вектором ошибок.
Найдем Pn(t) – вероятность t ошибок при приеме n символов. Обозначим через P*n(t) вероятность одного сочетания t ошибок в n символах: P*n(t) = pt(1-p)n-t . Тогда искомая вероятность определится с учетом всех возможных сочетаний ошибок:
Pn(t) = Ctn P*n(t) =n!pt (1-p)n-t/t!(n-t)! (1.24)
Рассмотрим подробнее канал с памятью. Условная вероятность приема сигнала yi в канале зависит от передачи предыдущих символов: P(yi |si, si-1, si-2,…). Если обозначить через (si-1 ,si-2 , si-3 ,…,si-N) = Ci-1 – состояние канала в (i-1)-й момент времени, то памятью канала N будем называть максимальное количество предыдущих символов, влияющих на прием текущего символа. Увеличение N не приводит к изменению условной вероятности:
P(yi /si ,si-1 ,…,si-N) = P(yi /si ,si-1 ,…,si-N-j), j 1 (1.25)
Канал задается совокупностью переходных вероятностей P(Ci /Ci-1) и вероятностью ошибок Pe(i) в i-ом состоянии: P(yi, Ci /si, Ci-1), Ci L – множество состояний канала. Разумно предположить, что передаваемые сигналы si и состояние канала Ci – независимы. Тогда условную вероятность приема текущего символа можно записать, как
P (yi, Ci /si, Ci-1) = P (yi /si, Ci-1) P (Ci /Ci-1) (1.26)
Если текущее состояние канала зависит только от его предыдущего состояния (N=1), то канал называют марковским, а последовательность состояний описывается простой цепью Маркова.
Рассмотрим модель Гильберта – простейшую модель канала с памятью.