1.2.2Выбор основания системы счисления

В своей повседневной деятельности мы пользуемся десятичной системой. В информационных технологиях используются системы счисления, основания которых кратно двум: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, и т. д. Возникает вопрос, какая система счисления наиболее экономно (компактно) представляет любые числа?

Если n – основание системы; m – число разрядов для записи числа, то количество элементов, используемых системой для записи числа, определяется, как v = mn. Максимальное число, которое может быть записано в такой системе, есть max N(n) = n^m – 1.

Откуда

n^m = max N(n)+1.

Логарифм последнего выражения:

m = ln[max N(n) + 1]/ ln(n)

Умножим его на n и получим:

.

Исследуем на экстремум:

,

откуда

n = n_opt= e  2,72.

Итак, мы получили, что наиболее компактно числовые величины представляются в системе счисления с основанием n = e. В Таблице 3 представлены характеристики некоторых употребительных систем счисления в сравнении с оптимальной при n = e.

Таблица 3. Сравнение систем счисления.

n	2	2,72	3	4	8	10	12
n/ln n	2,88	2,72	2,735	2,88	3,85	4,3	4,83
v/vopt	1,06	1	1,006	1,06	1,42	1,58	1,77

Видно, что системы счисления с основанием от двух до четырех практически не проигрывают оптимальной. С технологической точки зрения двоичная система несравненно удобнее остальных, что и обусловило ее широкое распространение.

1.2.3Основные коды

Код – это система соответствий между элементами дискретных сообщений и кодовыми комбинациями. Будем рассматривать двоичные коды, используемые при форматировании символов источника. Встречаются различные обозначения символов двоичного кода, представленные таблицей 4.

Таблица 4. Обозначения символов двоичного кода

x1	1	+1	+	Z	M
x2	0	-1	-	A	S

Обозначения «1» и «0» как «Z» и «А» рекомендованы Международным Консультативным Комитетом по телефонии и телеграфии (МККТТ), M и S – “mark” и “space”.

Наиболее употребительные коды перечислены на рис. 1.5.

Рис. 1.5.Виды наиболее употребительных кодов

Различают коды с возвратом к нулю – ВН и без возврата к нулю – БВН. В англоязычной литературе и ряде переводных книг ВН соответствует RZ (return-to-zero), а БВН – NRZ (no return-to-zero). На диаграммах 1, 2 показаны униполярные коды ВН, на диаграммах 3-5 полярные коды. Коды ВН могут принимать три значения (диаграмма 3), коды БВН – только два. Коды с расщепленной фазой передают «1» импульсом в первой половине тактового интервала (длительности бита), а «0» - во второй.

Кодировка БВН, диаграмма 4 – биполярные импульсы с активной паузой – широко используется в цифровых логических схемах и известна также под наименованием NRZ-L (L – level – уровень). Двоичная единица при этом представляется одним уровнем напряжения, а двоичный нуль – другим.

Группа кодировок с расщепленной фазой применяется в системах связи, тактовая синхронизация в которых осуществляется принимаемым сигналом – в их спектре всегда присутствует тактовая частота. Кодировка 5 известна также под названием манчестерская (Manchester Encoding); используется в системах магнитной записи и оптической связи, а также в некоторых спутниковых каналах телеметрической передачи данных.

Относительные коды M и S применяются в телеграфии и системах связи с относительной фазовой манипуляцией (ОФМ). Код S изменяет свою полярность с приходом «1», а код М – с приходом «0».

Код называется равномерным, если все кодовые комбинации содержат одинаковое количество элементов, например, код Бодо, ASCII. Код Морзе – неравномерный.

Код называется простым или первичным, если для передачи числа N используются m разрядов, причем n^m-1 < N ≤ n^m , где n – основание кода. Например, для передачи максимального числа 130, имеющегося в сообщении, натуральным двоичным кодом требуется 8 разрядов, тогда как такой код может кодировать 256 чисел. Значит, 256-130 = 126 чисел не будут использованы.

Невзвешенные коды.

Натуральному двоичному коду присущ недостаток, приводящий к значительным ошибкам при действии помех. Т.к. такой код является взвешенным, т.е. разряды кодового слова имеют разный вес, ошибка в старшем разряде приводит к гораздо большему искажения сообщения, нежели ошибка в младших разрядах.

Рис.1.6. Пространства решений для: а) натурального двоичного

кода; б) кода Грея.

Сказанное иллюстрируется рис. 1.6, где представлены пространства решений при использовании натурального двоичного кода (а) и невзвешенного кода Грея (б). При передаче М-ичными фазоманипулированными сигналами (MФМ) каждый сигнальный вектор не является равноудаленным от всех остальных.

На рис. 1.6, а показано восьмеричное пространство решений, где области решений обозначены 8-ричными символами в двоичной записи. При передаче символа (0 1 1) и появлении в нем ошибки наибольшую вероятность превратиться в тот же символ имеют ближайшие соседние символы, (0 1 0) и (1 0 0). Вероятность превращения символа (0 1 1) вследствие ошибки в символ (1 1 1) относительно мала. Если биты распределяются по символам согласно двоичной последовательности, показанной на рис. 1.6, а, то некоторые символьные ошибки всегда будут давать две (или более) битовые ошибки, даже при значительном отношении сигнал/шум.

Для неортогональных схем, таких как MФМ, часто используется код преобразования бинарных символов в М-арные, такой, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одной битовой позицией; таким образом, при появлении ошибки в М-арном символе высока вероятность того, что ошибочным является только один из k прибывших битов. Кодом, обеспечивающим подобное свойство, является код Грея; на рис. 1.6, б для восьмеричной схемы ФМ показано распределение битов по символам с использованием кода Грея. Можно видеть, что соседние символы отличаются одним двоичным разрядом. Следовательно, вероятность появления многобитовой ошибки при данной символьной ошибке значительно меньше по сравнению с не кодированным распределением битов, показанным на рис. 1.6, а.

Код Грея образуется из суммы по модулю 2 кодовой комбинации натурального кода с ней же, сдвинутой на один разряд вправо, при этом младший разряд сдвинутой комбинации отбрасывается. Пример 4-разрядных кодов – натурального и кода Грея показан в таблице 5.

Таблица 5

Десятичное число	Натуральный двоичный код	Код Грея
0 1 2 3 4 5 6 7	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111	0000 0001 0011 0010
		0110 0111 0101 0100
8 9 10 11 12 13 14 15	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	1100 1101 1111 1110
		1010 1011 1001 1000

Ось симметрии

Главная ось симметрии

Ось симметрии

Свойства кода Грея:

1. Соседние комбинации отличаются в одной позиции.

2. Смена элементов в каждом разряде происходит в 2 раза реже.

3. В сумме соседних комбинаций по mod 2 число единиц = m-3, где m – значность кода.

4. Имеются оси симметрии (отражения) – код является рефлексным.

В заключение отметим, что натуральный двоичный код удобен для различных преобразований, ввода в компьютер, при декодировании и т. п., а код Грея – для передачи по линиям связи.