1.14. Решение систем с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными (1.15):

или в матричной записи

.

(1.21)

Если А – невырожденная матрица (det A0), то система (1.15) совместна и имеет единственное решение. Умножая обе части равенства (1.21) слева на матрицу А^–1, обратную к матрице А, получаем

Х = А–1 B.

(1.22)

Пример 1.22

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

А = .

Обратная матрица найдена в примере 1.21 и имеет вид

А^–1 = .

По формуле (1.22) получаем

Х =  = =

= = .

Таким образом, решение системы: (2; –1; 1).

Покажем, что если = detA0, то формулы Крамера (1.16) могут быть получены из формулы (1.21). Действительно, из выражений (1.22) и (1.20) и (1.14) последовательно получаем

.

;

;

.

Задачи для самостоятельного решения

Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

№	А	В	Х (ответы)
1)
2)
3)
4)
5)
6)

.

.

37