Пример 1.6
1)
А+В =
;
2) матрицы
А
=
и В =
сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.
2. Произведением матрицы на число называется матрица А, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число .
Пример 1.7
3 |
(1.8) |
=
3. Две матрицы A и одинаковой размерности mn считаются равными, если равны их соответствующие элементы aik = bik .
1.8. Умножение матриц
В
третьем разделе было изучено правило
(1.6) умножения квадратной матрицы
третьего порядка на столбец. Рассмотрим
теперь умножение матрицы
на матрицу
.
Подчеркнем, что число столбцов матрицы
А, равно числу строк матрицы В.
Отличие произведения А(33)
В(32)
от формулы (1.6), рассмотренной в третьем
разделе, заключается только в том, что
матрица В имеет теперь два столбца,
поэтому матрица D
= А(33)
В(32)
тоже имеет два столбца, т.е. столько же
столбцов, сколько их в матрице В.
При этом первый столбец матрицы D
равен произведению матрицы А на
первый столбец матрицы В, а
второй столбец матрицы D
– это произведение матрицы А на
второй столбец матрицы В:
А(33)
В(32)
=
=
= |
(1.9) |
.Посмотрим, как изменится формула умножения матриц (1.9), если в матрице А добавить еще одну строку:
А(43) В(32)= =
= |
(1.10) |
.Как видим, добавление строки в матрицу А приводит к добавлению строки в матрицу D = AB, т.е. можно записать
|
(1.11) |
.
Если в матрице прибавить один столбец, то произведение такой матрицы A(34) на матрицу B(32) по рассмотренным выше правилам найти невозможно. В этом случае говорят, что произведение матриц не существует. Матрицу A(34), имеющую четыре столбца, можно умножить только на матрицу, имеющую четыре строки, например на матрицу B(42):
=
.
Таким
образом,
.
Из примера можно сделать следующие основные выводы об умножении матриц:
1) произведением некоторой матрицы А(m k) на матрицу В(k n) является матрица D(m n)= А(m k) В(k n) . Число строк матрицы D равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы D равно числу столбцов матрицы В;
2) если число столбцов матрицы А (первого сомножителя в произведении) не равно числу строк матрицы В (второго сомножителя), то произведение таких матриц не существует;
3) каждый столбец матрицы D(m n)= А(m k) В(k n) строится как произведение матрицы А на соответствующий столбец матрицы В.
Из сказанного следует, что операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности (перестановочности), т.е. в общем случае АВВА. Более того, при существовании произведения АВ произведение ВА может и не существовать.
Приведем еще несколько примеров умножения матриц.
Пример 1.8
Легко показать, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка (см. определение и формулу (1.8)), что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда
АЕ
=
=
=
=
=
=
А.
Равенство ЕА = А доказывается аналогично.
Пример 1.9
.
Пример 1.10
.
В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).
Пример 1.11
А=
,
В =
.
Найти АВ и ВА.
Решение
АВ = =
=
=
;
ВА = =
=
=
.
Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.
Пример 1.12
=
=
=
.
Пример 1.13
=
=
=
=
.