1.11. Свойства определителей

Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Представление определителя в виде такой суммы называется разложением определителя по элементам строки (или столбца). Например,

–

– разложение определителя по элементам первой строки;

–

– разложение определителя по элементам второго столбца.

Как видим, с помощью такого разложения вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Пример 1.16

Вычислить определитель

.

Решение

Разложим определитель по элементам первого столбца, получим

= 8 ­– 0 +0 = 8(2+4) = 48.

Свойство 2. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Этим свойством можно воспользоваться для “создания” нулей в определителе и последующего применения свойства 1.

Пример 1.17

Вычислить определитель

.

Решение

К элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы второго столбца, умноженные на (–3). Так как по свойству 2 определитель не изменится, получаем

= =14 =1429 = 406.

Свойство 3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю. Это следует из свойства 1.

Свойство 4. Если в матрице А строки заменить столбцами, то ее определитель не изменится:

.

Свойство 5. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак:

.

Свойство 6. Если матрица А имеет две одинаковые строки, то detA=0.

Доказательство следует из свойства 1; при перестановке двух строк матрицы знак определителя должен измениться, но, с другой стороны, определитель должен остаться прежним, так как перестановка одинаковых строк местами не изменит матрицу. Следовательно, detA= = – detA  detA=0.

Свойство 7. Общий множитель элементов некоторой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

Рассмотрим это свойство для определителя третьего порядка. Пусть элементы третьей строки имеют общий множитель . Тогда по свойству 7 выполняется равенство

.

Из этого равенства следует, что для умножения определителя на некоторое число  достаточно умножить на это число одну строку (или столбец) определителя (сравните с правилом умножения матрицы на число).

1.12. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

(1.15)

Обозначим  определитель матрицы : = .

Умножим на обе части этого равенства. По свойству 7 умножение определителя на число эквивалентно умножению его строки или столбца на это число, поэтому, умножая на х₁ первый столбец, получим равенство

= .

Прибавим к элементам первого столбца элементы второго столбца, умноженные на , и элементы третьего столбца, умноженные на .

По свойству 2 определитель не изменится.

х₁ = .

Воспользуемся системой (1.15) и элементы первого столбца полученного определителя заменим на b₁, b₂ и b₃ , тогда

х₁ = = ₁ .

Здесь ₁ обозначен последний определитель.

Таким же образом можно получить еще два аналогичных равенства, добавляя которые к последнему равенству, получаем

х1 = 1 ; х2 = 2 ; х3 = 3 .

(1.16)

В равенствах (1.16)

= , ₁ = , ₂= ,

₃ = .

Отметим, что  –определитель матрицы , составленной из коэффициентов при неизвестных системы (1.15). Определители ₁, ₂ , ₃ получаются заменой соответственно первого, второго или третьего столбца определителя  столбцом правых частей системы (1.15).