Соотношения (1.16) называются формулами Крамера. Из них следует, что в зависимости от значений определителей возможны три случая:

1) 0, система имеет единственное решение. При этом значения неизвестных находятся из соотношений (1.16)

х1 = ; х2 = ; х3 = .

(1.17)

2)  = 0, а хотя бы один из определителей ₁ , ₂ или ₃ не равен нулю. В этом случае система несовместна.

3)  = ₁ = ₂ = ₃ =0.

Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1.18

В качестве примера рассмотрим применение метода Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Решение

Переставим слагаемые в первом уравнении:

Вычислим определители.

 = = –16 – 9 = –25; _х = = 4–54 = –50;

_y = = –72 – 3 = –75.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

= = = 2; y = = = 3.

Таким образом, решение системы (2; 3).

Пример 1.19

Решить систему по формулам Крамера.

Решение

Вычислим определители

– = 15 + 1 + 9 + 10 = 35;

– EMBED Equation.DSMT4 = –20 + 6 – 12 + 40 = 14;

– = –120 – 4 – 18 – 40 = – 182;

– = 24–18 + 8 + 72 – 4 – 12 = 70.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

;

;

Таким образом, решение системы (0,4; –5,2; 2).

Задачи для самостоятельного решения

Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.

№	Система уравнений	Ответы
1
2
3
4

1.13. Обратная матрица и ее нахождение

Квадратная матрица А, определитель которой равен нулю (detA=0) называется вырожденной. Если же detA  0, тогда матрица А называется невырожденной.

Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если выполняется соотношение

,

(1.18)

Таким образом, произведение матрицы А на обратную к ней матрицу А^–1 равно единичной матрице Е (А^–1 – это обозначение матрицы, обратной к матрице А). Отметим, что умножение матрицы А на обратную обладает свойством коммутативности

,

(1.19)

Можно доказать, что для любой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица, которая находится по формуле

А–1 = .

(1.20)

В формуле (1.20)  = det(А) 0, элементы А₁₁ , А₁₂ , …– алгебраические дополнения к соответствующим элементам а₁₁ , а₁₂ , …матрицы А.

Пример 1.20

Найти матрицу , обратную к матрице А= .

Решение

Для нахождения обратной матрицы А^–1 вычислим определитель

= = 2+1=3

и алгебраические дополнения

А₁₁ = 1 , А₂₁ = 1,

А₁₂ = –1 , А₂₂ = 2.

После этого найдем

А^–1 = = .

Покажем, что для найденной матрицы выполняется условие

:

.

Пример 1.21

Рассмотрим еще один пример нахождения обратной матрицы для матрицы третьего порядка:

А = .

Решение

Вычислим определитель:

= =1(–1)0+1(–6)3+2(–2)1 – 1(–1)3–120–

– (–6)(–2)1= –18 – 4 + 3 –12 = –31.

Вычислим алгебраические дополнения соответствующих элементов:

А11 = = –12;	А21 = – = –2;	А31 = = –5;
А12 = – = –18;	А22 = = –3;	А32 = – = 8;
А13 = = –1;	А23 = – = 5;	А33 = = –3.

Составим обратную матрицу:

А^–1 = = .

Покажем, что .

 =

= =

= = = Е.