Задачи для самостоятельного решения

Найдите произведения матриц:

№	Задания	Ответы
1.	 .
2.	 .
3.	 .
4.	.
5.	 .
6.	 .

7.	 .
8.	 .

1.9. Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим матрицу второго порядка А= . Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению

= detA= det = = a11 a22 – a12 a21.

(1.12)

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.

=

= + + – – – =

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂ a₂₃a₃₁ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ – a₃₁ a₂₂ a₁₃ – a₂₁ a₁₂ a₃₃ – a₃₂ a₂₃ a₁₁.

(1.13)

По схеме правила треугольника (1.13) определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника – со знаком минус (т.е. с противоположным знаком).

Пример 1.14

1) = (–3)5 – 2(–4) = –15+8 = –7.

2) = (–1)4(–3)+ (–2)02+315–542–3(–2)(–3) –

–10(–1) = 12 +15 – 40 –18 = – 31.

1.10. Минор и алгебраическое дополнение

Минором некоторого элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, остающийся после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс (т.е. со своим знаком), если сумма номеров строки и столбца этого элемента – четное число и взятый со знаком минус (т.е. с противоположным знаком), если эта сумма является нечетным числом.

Выпишем алгебраические дополнения всех элементов определителя:

.

Обычно алгебраическое дополнение элемента a_mn обозначают большой буквой А_mn.

А11 =	А12 = –	А13 =
А21 = –	А22 =	А23 = – (1.14)
А31 =	А32 = –	А33 =

Матрица из алгебраических дополнений

называется присоединенной (или союзной) матрицей для матрицы

.

Пример 1.15

Найти алгебраическое дополнение элемента a₁₃ определителя

.

Решение

= = 3 – 8 = –5.