Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1. Матричное исчисление и его приложения к реше....doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
14.04.2019
Размер:
814.59 Кб
Скачать

Часть 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава 1

Матричное исчисление и его приложения

к решению систем линейных уравнений

Теория линейных уравнений исторически была первым разделом линейной алгебры. В связи с изучением систем линейных уравнений появилось понятие матрицы. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры. Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в теории линейных уравнений, а также в других разделах современной математики, в механике и электротехнике.

1.1. Пример решения системы методом Гаусса

Пусть требуется решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(1.1)

Будем последовательно “исключать” неизвестные. Для этого первое уравнение системы оставим без изменений, а второе и третье преобразуем:

1) ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на –2, и приведем его к виду –3x2 –2x3 = –2;

2) к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на – 4, и приведем его к виду –3x2 – 4x3 = 2.

В результате из второго и третьего уравнений будет исключено неизвестное x1 и система примет вид

Второе и третье уравнения системы умножим на –1, получим

Коэффициент 1 в первом уравнении при первом неизвестном х1 называется ведущим элементом первого шага исключения.

На втором шаге первое и второе уравнения остаются без изменений, а к третьему уравнению применим тот же способ исключения переменной x2. Ведущим элементом второго шага является коэффициент 3. К третьему уравнению прибавим второе, умноженное на –1, тогда система преобразуется к виду

(1.2)

Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) называются прямым ходом метода Гаусса.

Порядок действий решения системы (1.2) называется обратным ходом. Из последнего уравнения получим х3= –2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим х2 = 2. После этого первое уравнение дает х1 = 1. Таким образом, - решение системы (1.1).

1.2. Понятие матрицы

Рассмотрим величины, входящие в систему (1.1). Набор из девяти числовых коэффициентов, стоящих в уравнениях перед неизвестными, образует таблицу чисел, которая называется матрицей:

А = .

(1.3)

Числа таблицы называются элементами матрицы. Элементы образуют строки и столбцы матрицы. Количество строк и количество столбцов образуют размерность матрицы. Матрица А имеет размерность 33 (“три на три”), причем первое число указывает количество строк, а второе – столбцов. Часто матрицу обозначают, указывая ее размерность А(33). Так как число строк и столбцов в матрице А одинаково, матрица называется квадратной. Количество строк (и столбцов) в квадратной матрице называется ее порядком, поэтому А – матрица третьего порядка.

Правые части уравнений, также образуют таблицу чисел, т.е. матрицу:

B(31) = .

(1.4)

Каждая строка этой матрицы образована единственным элементом, поэтому B(31) называется матрицей–столбцом, ее размерность 31. Набор неизвестных также можно представить как матрицу-столбец:

Х(31) = .

(1.5)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]