1.4.3. Отражательные голограммы

Так как опорная и предметная волны падают на отражательную голограмму симметрично с различных сторон, то проекции волновых векторов и на ось Oz равны по абсолютной величине и противоположны по знаку . Поэтому систему уравнений (74) для случая отражательных голограмм запишем так:

(85)

где . Решение системы уравнений (85) будем искать в следующем виде:

(86)

где , , , – комплексные постоянные. Подставив выражения (86) в систему уравнений (85) и сокращая множитель , получим:

(87)

Приравнивая в левой и правой частях соотношений (87) коэффициенты при и , переходим к двум независимым равенствам:

(88)

Используя краевые условия

(89) и решая систему уравнений (88), (89) относительно , , , , находим значения этих комплексных постоянных.

Выразим из (89) и подставим в полученное выражение (88).

;

;

. (90)

Подставим выражение для во второе равенство (89)

или , из полученного равенства выразим .

, тогда .

Подставим в (90) найденное выражение для :

; тогда подставляя в (87) полученные выражения для и найдем и :

;

.

Выпишем полученные выражения для , , , :

(91)

Подставляя выражения (91) в равенства (86) и принимая во внимание известные тождества:

; , получаем:

Вычислим интенсивности взаимодействующих волн в отражательной голограмме:

Найдем интенсивности прошедших голограмму волн и , подставив в равенство (92) , а в (93) ;

(94)

Проведем анализ полученных выражений в некоторых частных случаях.

Пусть интенсивности волн и на границах голограммы совпадают: .

Тогда, принимая во внимание известное тождество , получаем:

(95)

Из равенства (94) следует, что, как и для пропускающих голограмм, в рассматриваемом случае степень перекачки энергии определяется множителем . Предположим, что созданы оптимальные условия для трансформации опорной волны в предметную: . Тогда относительные интенсивности прошедших голограмму волн можно выразить следующим образом:

(96)

Найдем экстремумы функций (95), используя необходимое условие существования экстремумов – равенство нулю первой производной по d. Будем иметь

.

Так как и , то , откуда . Значит, . Таким образом, при толщине голограммы

(97) функции (96) достигают экстремальных значений. Поскольку

; ,

то неотрицательная функция при значении d (97) достигает максимума. Очевидно, что относительная интенсивность опорной волны принимает при э том минимальное значение, а относительная интенсивность предметной волны — максимальное. Графики функций (96) при , приведены на рис. 9. Кривая 1 изображает функцию , а кривая 2 –

Рис. 9.

функцию .

В отражательных голограммах при одинаковых интенсивностях опорной и предметной волн существует возможность управления перекачкой энергии за счет изменения разности фаз . Действительно, при толщине голограммы, удовлетворяющей равенству (97), вся энергия предметной волны переходит в опорную, если . Полагая , мы полностью ликвидируем перекачку (см. уравнения (95)).

Как и в случае пропускающих голограмм, при очень малой интенсивности одной из волн перекачка энергии происходит независимо от величины Ф, а относительная интенсивность прошедшей предметной волны, полученная из уравнений (92), совпадает с выражением дифракционной эффективности (68) отражательной голограммы:

.

При этом относительная интенсивность опорной волны (см. систему (94) падает с увеличением толщины голограммы:

.

Легко показать, что суммарная относительная интенсивность опорной и предметной волн, прошедших голограмму, равна единице.

Явление взаимной трансформации опорной и предметной волн в объемных голограммах представляет интерес для исследования, особенно в динамической голографии (см., например: Винецкий В.Л., Кухтарев Н.В. Динамическая голография) [16].