1.3. Дифракционная эффективность объемных пропускающих и отражательных голограмм

1.3.1. Пропускающие голограммы

Предположим, что волновой вектор объемной синусоидальной голографической решетки параллелен границам регистрирующего слоя (рис. 3.). Такую голограмму принято называть пропускающей, так как дифрагированная волна S выходит с той же стороны слоя, что и прошедшая через голограмму опорная волна R. Предположим, что средний показатель преломления регистрирующей среды совпадает с показателем преломления окружающих ее областей пространства. При этом преломление света на ограничивающих слой плоскостях и можно не учитывать.

И

Рис. 3.

з физических соображений амплитуда дифрагированной волны при равна нулю, так как волна S создается за счет уменьшения энергии волны R по мере прохождения ее через толщу голограммы и частичного отражения от плоскостей максимального почернения (амплитудная голограмма) или максимального показателя преломления (фазовая голограмма). Амплитуда опорной волны при входе в голограмму считается заданной. Поэтому граничные условия для амплитуд волн R и S принимают следующий вид (см. систему уравнений (38)):

; . (41)

Из равенства (41) получим, что

(42)

С помощью выражений (38) и соотношения (42) найдем значение и подставим его во второе уравнение системы (35), полагая и принимая во внимание соотношение (42). В результате получим , откуда с учетом равенства (42) будем иметь

.

Подставив и во второе уравнение системы (38), найдем амплитуду дифрагированной волны на выходе голограммы при :

.

Определим дифракционную эффективность объемной пропускающей голограммы:

. (43)

Проведем анализ выражения (43) для случаев чисто фазовых и чисто амплитудных голограмм. С целью упрощения конечных формул в различных частных случаях преобразуем выражения (32) таким образом, чтобы дифракционную эффективность (43) можно было выразить через модулированный комплексный показатель преломления регистрирующей среды:

. (44)

Сравнивая равенство (44) с выражением (4) диэлектрической проницаемости , используя известное соотношение и учитывая приближения , , получаем:

; . (45)

Если предположить, что , , считая поглощение малым, то из соотношений (45) нетрудно вывести приближенные формулы:

(46)

Найдем дифракционную эффективность фазовых пропускающих голограмм в прозрачной регистрирующей среде . В этом случае имеют место следующие равенства (см. соотношения (32), (37) и (46)):

(47)

(48)

. (49)

Подставив выражения (47) – (49) в равенство (43), получим

;

, (50)

то есть дифракционная эффективность пропускающих фазовых голограмм при угле падения периодически изменяется от нуля до 100 %. График зависимости от приведен на рис. 4.

О пределим дифракционную эффек-тивность амплитудных пропускающих голограмм . В этом случае величины , , , , и в выражении (43) можно представить следующим образом:

Рис. 4.

; (51) ; (52)

(53)

С учетом выражений (51) – (53) дифракционная эффективность принимает вид

. (54)

Прежде чем исследовать поведение функции , отметим, что не может превышать , так как в противном случае мнимая часть показателя преломления голограммы была бы отрицательной для областей пространства, в которых , т.е. соответствовала бы усиливающей среде. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением поглощающих сред, следует положить . Отсюда очевидно, что максимум дифракционной эффективности (54) может быть достигнут при наибольшем значении величины , входящей сомножителем в , то есть

. (55)

Подставляя выражения (51) и (52) в формулу (54) и принимая во внимание равенство (55), находим

. (56)

Исследуем функцию на экстремум. Применим необходимое условие экстремума:

. (57)

Разделив обе части равенства (57) на , придем к уравнению

. (58)

Для решения уравнения (58) относительно величины выразим через и :

. (59)

Подставив выражение (59) в равенство (58), будем иметь

. (60)

После умножения на равенство (60) примет вид , откуда или . Поскольку при , а при , функция в точке достигает максимума. Значит, при выполнении равенства , то есть при определенной толщине регистрирующего слоя , (61)

дифракционная эффективность голограммы наибольшая. Вычисляем максимальное значение дифракционной эффективности , подставляя значение толщины (61) в выражение (56):

; .

Следовательно, максимальная дифракционная эффективность амплитудных пропускающих голограмм в десятки раз меньше максимальной дифракционной эффективности фазовых голограмм, достигающей в отсутствие поглощения 100 %.

П

Рис. 5.

остроим график функции (рис. 5), полагая . Из графика следует, что с возрастанием толщины регистрирующего слоя дифракционная эффективность амплитудной голограммы сначала возрастает, а затем падает, асимптотически приближаясь к нулю. Для оценки оптимальной толщины регистрирующего слоя можно использовать выражение (61).