16. Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) —значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение
предела по Гейне.
Число A
называется пределом функции f
(x)
в точке a,
если эта функция определена в некоторой
окрестности точки a
за исключением, быть может, самой точки
a,
и для любой последовательности
такой, что
сходящейся к числу a,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится к числу A.
Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.
Число
называется
пределом функции f
(x)
слева в точке a,
если для каждого ε
> 0 существует δ
> 0 такое, что для всех
выполняется неравенство
Число
называется
пределом функции f
(x)
справа в точке a,
если для каждого ε
> 0 существует δ
> 0 такое, что для всех
выполняется неравенство
Предел
слева обозначается
предел справа –
Эти
пределы характеризуют поведение функции
слева и справа от точки a.
Их часто называют односторонними
пределами. В обозначении односторонних
пределов при x
→ 0 обычно опускают первый нуль:
и
.
Арифметические операции над пределами
Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.
1)
,
,
если
.
2)
,
если существуют конечные пределы
,
.
3)
,
если существуют конечные пределы
,
.
Следствие:
,
если существует конечный предел
.
4)
5)
g(x)0,
,
Замечание: Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов
17. Два замечательных предела и их следствия. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим
односторонние
пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(R
= 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(где
SsectOKA —
площадь сектора OKA)
(из
:
|
LA
| = tgx)
Подставляя
в (1), получим:
Так
как при
:
Умножаем
на sinx:
Перейдём
к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый
и левый односторонний пределы существуют
и равны 1, а значит и сам предел равен
1.
Следствия
Доказательство
следствий
