24.Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

u(x) v(x))' = u'(x) v'(x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)

при условии, что v(x)≠ 0.

25.Производные обратной и сложной функций.

Пусть  -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть  -- фиксированная точка и  -- точка, ей соответствующая. Тогда .

        Теорема 4.5   Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

(4.14)

 Доказательство.     Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, ; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать.      Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

(4.15)

если  -- функция, обратная к .

Замечание 4.10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная , то разностное отношение стремится к при , что соответствует вертикальной касательной к графику при (если считать, что ось расположена горизонтально, а ось  -- вертикально).    

 

Рис.4.7.Графики функций и и касательные к ним при

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции , так и обратной функции изображается на координатной плоскости одной и той же линией, состоящей из точек , где или, что то же самое, . Поэтому, если в точке график функции имеет касательную, образующую угол с осью , то угол той же касательной с осью будет, очевидно, равен . Тогда

поскольку для обратной функции производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси , на которой меняется аргумент функции .

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны и , дополняют друг друга до

Если u = f(x₁,x₂,x₃….x_n) , то в случае, когда  x₁,x₂,x₃….x_n зависят  только от одной переменной t, производная по t сложной функции(обыкновенная) вычисляется по формуле

а если f зависит от одной переменной х, то формула принимает вид:

 

то есть совпадает с формулой для одномерного случая.