51.Cто. Преобразования Лоренса для координат ивремени.
Назовем событием
некоторое физическое явление, происходящего
в некоторой точке пространства, в
некоторый момент времени. Событием
будет излучение точечным источником
сферической волны. Рассмотрим две
инерциальные системы отсчета. Напомним,
что каждая точка хар-ется тремя
координатами и временем t.
В системе К (x,
y,
z,
t),
в системе К’ (x’,
y’,
z’,
t’),
K’
движется со скоростью
.
Пусть в некоторый момент времени t’
произошло некоторое событие. Например
этой точки достигает фронт сферической
волны. Задача-нахожддение координат
события в системе К. Произведем
синхронизацию часов в системах координат,
при t=t’=0.
Координаты О и О’ совпадают. Пусть при
t=0
из начала координат начало распространение
сферическая волна. В системе К уравнение
движения записывается так : x2+y2+z2-c2t2=0
(1). Согласно первому постулату Эйнштейна
все физические явления во всех инерциальных
системах отсчета происходят одинаково
и имеют инвариантную форму.
(x’)2+(y’)2+(z’)2-(c’)2(t’)2=0
(2), (x’)2+(y’)2+(z’)2-c2(t’)2=0
(3), c=const.
Вычитая эти неравенства, получаем
(x’)2+(y’)2+(z’)2-c2t2=
x2+y2+z2-c2t2
(4). Должны получить такие формулы
преобразования координат при переходе
из одной системы в другую, где выполняется
(4), полученное нами из постулатов
Эйнштейна. Изложим те преобразования
к формулам преобразования, которые
следуют из общих соображений. Во-первых,
формулы преобразования должны быть
линейными. Во-вторых, т. к. движение
происходит вдоль оси x,
то можно предположить y’=y,
z’=z
(5). При t=0
начало координат К и К’ совпадают, т.
е. координата плоскости x’
то x=Vt.
Следовательно, мы можем написать
x’=α(V)(x-Vt)
(6), здесь α=const,
зависит от времени. Дальше наступает
наиболее неочевидное предположение.
Предположим, что t’
является линейной функцией, а именно
t’=βt+γx
(7). Здесь β
и γ=const
могут зависеть от V.
Подставим (5), (6) и (7) в (4) :
α2(x-Vt)2+y2+z2-c2(βt+γx)2=
x2+y2+z2-c2t2
(8). Возводим в квадрат левую часть,
появляется структура типа Ax2+Bxt+Ct2=0
(9). Это равенство возможно для любого x
и t,
только при A=B=C=0.
α2-c2γ2=1
(11), α2V2-c2β2=-c2
(12), α2V+
c2βγ=0
(13), α2V=-c2βγ,
γ=-α2V/c2β
(14), подставим (14) в (11), α2-c2(α4V2/c2β2)=1,
α2c2-β2-α4V2=c2β2,
α2V-c2β2=-c2β2/α2
(15), -c2=-c2β2/α2,
α=β,
α2(V2-c2)=-c2,
α2=c2/(V2-c2)=1/(1-V2/c2).
α=β=1/
(16). Из (14) получаем : γ=-α2V2/c2β=-V/(
)
(17). Подставляя const
в предыдущие формулы мы получаем
преобразования Лоренца : x’=(x-Vt)/
,y’=y,
z’=z
и t’=(t-Vx/c2)/
}
(I).
▼ Формулы преобразования координат времени (I) носят названия формул преобразования Лоренца. Обратные формулы получаются из (I) заменой штрихованной на не штрихованную (V→V’). x=(x’-Vt’)/ , y=y’, z=z’ и t=(t’-Vx’/c2)/ } (II).
52.Сто. Следствие из преобразований Лоренца. Пространственные промежутки.
Мы покажем что из преобразований Лоренца вытекает, что понятие пространства и временной промежуток являются относительными. Размер тела или время прошедшее между двумя событиями не имеет абсолютного характера и различна для разных систем отсчета. Пусть в системе К’, та которая движется относительно К со скоростью V, покоится некоторое тело, которое назовем масштабом. Длина масштаба в направлении x’, в системе K’. Найдем длину этого масштаба в системе К.Пусть координаты концов масштаба будут x1’ и x2’, найдем их положения в системе К (нас интересует разность координат).Поскольку масштаб движется в системе К, то для измерения его размеров необходимо зафиксировать в один и тот же момент времени t (в системе К) положение концов масштаба. Пусть в системе К в момент времени t начало и конец имеют координаты x1 и x2.С помощью преобразований Лоренца (I) мы можем записать, что x2’=(x2-Vt)/ (1), t=const, x1’=(x1-Vt)/ (2), x2’-x1’=(x2-x1)/ . K→L, K’→L0, x2’-x1’=L0, x2-x1=L, L0=L/ . L=L0 (4).
▼ Формула (4) – главная в этом вопросе. Мы видим, что длина масштаба движущегося со скоростью V относительно К, оказывается меньше реальной : L<L0.
▼ Это сокращение размеров тела в направлении движения часто именуют Лоренцовым сокращением. Поскольку в направлении y и z размеры не меняются (см I), то из (4) следует преобразование объема : V=V0 (5).