53.Сто. Следствие из преобразований Лоренца. Временные промежутки. Эксперимент по распаду μ-мезона.
Пусть в некоторой
точке x’
в системе K’
происходит некоторый физический процесс,
в течение промежутка времени Dt0=t2’+t2’
(6) здесь t1’-начало
процесса, t2’-его
окончание. Для времен t1
и t2
в системе К, отвечающих t1’
и t2’
мы получим t2=(t2’+Vx’/c2)/
,
t1=(t1’+Vx’/c2)/
(7). Вычитая получим промежуток времени
Dt
Dt0/
(8).
▼ Формула (8) является главной в этом вопросе.
▼ Время Dt0
измеренное в системе отсчета, движущееся
вместе с телом, в котором происходит
процесс, называется собственным временем.
Видим из формулы (8), что собственное
время Dt0<Dt-время
прошедшее между этими событиями в
системе К. (рисунок эксперимента).
Скорость V
(μ-мезона)
c
(<c).
Время жизни μ-мезона Dt0=2*10-6с,
DxН=VDt0
cDt0=600м,
Dxp=20
км. Однако на земле μ-мезоны регестрируются.
Dt0
Dxp/c=(20
км)/c
7*10-5сек
35Dt0
54.Сто. Интервал и собственное время.
Пусть в точке
пространства с координатами x,
y,
z
в момент времени t
происходит некоторое физическое явление
(событие). Пусть в другой точке x1,
y1,
z1
в момент времени t,
происходит другое событие, тогда по
определению интервалом между двумя
событиями называется величина равная
: S=
(9). Преобразуем (9), чтобы узнать чему оно
равно в системе К’, пользуясь формулами
(II).
c2(t1-t)2=1/(1-V2/c2){c2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’)+V2/c2(x1’-x’)2},
(x1-x)2=(x1’-x’)2+V2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’),
(y1-y)2=(y1’-y’)2,
(z1-z)2=(z1’-z’)2,
c2(t1-t)2-(x1-x)2=1/(1-V2/c2){
c2(t1’-t’)2+2V(x1’-x’)(t1’-t’)+V2/c2(x1’-x’)2-(x1’-x’)2-V2(t1’-t’)-2V(x1’-x’)(t1’-t’)}=1/(1-V2/c2){
(t1’-t’)2(c2-V2)+
(x1’-x’)2(1-V2/c2)}=
1/(1-V2/c2){c2(t1’-t’)2(1-V2/c2)-(x1’-x’)2(1-V2/c2)}=c2(t1’-t’)2-(x1’-x’)2,
S2=c2(t1-t)2-(x1-x)2-(y1-y)2-(z1-z)2=c2(t1’-t’)2-(x1’-x’)2-(y1’-y’)2-(z1’-z’)2=S’2
(10). S=S’=invar
(11).
▼ Мы показали, что
интервал между двумя событиями является
инвариантным. Мы рассматриваем бесконечно
малые расстояния и интервалы между
двумя событиями dx=(x1-x),
dt=(t1-t),
dS=
(12). Пусть дана инерциальная система
отсчета К’, в некоторой точке x’,
y’,
z’
происходит два события во время
dt0-измеряется
часами, покоящимися в К’. Время dt0
есть собственное время, прошедшее между
двумя событиями. Найдем интервал между
двумя событиями. dS=
=cdt0,
dt0=
(13)-связь интервала и времени. Подставим
в (13) dS
из формулы (12) : dt0=
=(
)
(14)
dt . dt0=dt (15)-связывает собственное время dt0 с временем dt в К’.
55.СТО. 4-х мерная формулировка-преобразование Лоренца и вращение в плоскости x, τ.
Математическое
отступление. Формулы преобразования
координат вектора при повороте в системе
(здесь рисунок). Получим связь ax=>f1(ax;ay),
ay=>
f2(ax;ay),
+ay
y
(1),
+ay’
y’
(2)
ax=
x
=
x(ax’
x’+ay’
y’)=ax’(
x
x’)+ay’(
x
y)
ax’cosj+ay’cos(
+j),
ax=ax’cosj-ay’sinj(3)
aα=Rαβaβ’
(4), Rαβ=
(5), a’x
ax’ aα=
,
a’α=
,
ax=Rxxa’x+Rxya’y.
Конец матем. отступления.
Введем формально четвертую координату. τ=ict (6). Будем считать, что формулы преобразования типа (3) и (4) справедливы и для координатной плоскости τx(здесь рисунок).
tgj=i(V/c) (7). Формулы преобразования (3) и (4) в точности совпадают с преобразованиями Лоренца (II).
cosj=1/
=1/
(8), sinj=cosjtgj,
sinj=(iV/c)/
(9), (8) и (9) подставим в (3) : x=(x’-τ’iV/c)/
=(1/
)(x’-ict’iV/c)=(x’+Vt’)/
(I).
Проверим вторую формулу τ=(x’iV/c+τ’)/
,
ict=(x’iV/c+ict’)/
.
t=(t’+x’V/c2)/
.
Таким образом поварот системы координатной
плоскости xτ
на угол j,
дает для x,
y,
z
и t
формулу Лоренца.
56.СТО. 4-х радиус вектор, 4-х векторы скорости и ускорения.
По определению четырехрадиусом-вектором называется величина rα=(x, y, z, τ) (10). Мы показали что формула преобразования является следующими формулами : rα=γαβr’β (11). γαβ=(Здесь формула из тетради) (12). Применим (11) к α=1→r1=x, r1=γ11r1’+γ12r2’+γ13r3’+γ14r4’=x’/ +0+0+(-iV/c)(ict’)/
Обобщим определение четырехрадиуса-вектора на произвольный трех-вектор.
▼ По определению четырехрадиусом-вектором называется совокупность величин aα=(ax, ay, az, aτ), которые при преобразовании Лоренца (вращение в плоскости xτ на угол j) преобразуется как четырехрадиус-вектор по формуле (11). aα=γαβaβ’ (13) суммирование по индексу β от одного до четырех.
Кинематика СТО. dt0 лоренц-скаляр (инвариант), мы это показали. dt0-как масса в обычном мире.
▼ Четырехвектором-скорости
называется следующим четырехвектором
: uα=
(14), dt0=dt
(15), β=V/c
(16), dt0=dt
(17).
ux=dx/(dt
)=dx/dt/
=
/
(18), uy=
y/
,
uz=
z/
}
(19). uτ=ic/
(20).
=uαuα=-c2,
uαuα=1/
(
+
+
-c2)=
Тривиальная формула преобразования скорости при вращении uα=γαβuβ’ (21)
▼ Четырех-вектор
ускорения по определению равен :
(22), он четырех-вектор по построению.
Формула преобразования Лоренца для
ускорения :
γαβvβ’
(23). Компоненты ускорения. vx=
=
=
=
; a=vx
, b=
; b’=
=-
vx=
+
(24) ;
=uαuα=-c2=const
; 2ux
=0
uαvα=0 (25) четырех-векторы скорости и ускорения арктагенальны (сколярное произведение=0)
57-58.СТО. Ковариантная формулировка основного закона динамики материальной точки. Сила Минковского.
Инерционные свойства частиц описываются массой покоя этой частицы (m0).четырех-вектор импульса.
▼ По определению
pα=m0uα
(26). Естественным релетивистским
обобщением II
закона Ньютона является следующее
уравнение :
=Fα
(27), Fα-некоторый
четырех-вектор.
▼ Fα-называется
силой Минковского. Запишем в координатах
=
=
=Fx.
=Fx
(28) ; v<<c.
Мы потребуем, чтобы в правой части (28)
стояла обычная сила F,
тогда: ▼ Компоненты четырех-вектора
силы :
=Fx
(29),
=
(30)-обыкновенные силы Ньютона.
=Fτ uαvα=0,
uα
(m0
uα),
воспользуемся (27) : uαFα=0
(31).
+
+
+
=0;
=-
;
=(i/c)
(32);
=
(33)
Тогда уравнение
(27) четырех-вектора компоненты приобретают
следующий вид :
=
=
;
=
(34)
▼ Справа в (34) стоит мощность, следовательно, слева изменение энергии.
▼ Таким образом
мы определяем полную энергию частицы.
E=
(35) ;
=
(36)
Проанализируем.
Формула для трех-координат системы
четырех-вектора (трехмерная формула
для четырех-вектора) :
=
;
m(v)
(37) ; m(v)=
(38) ;
=
; pα=(px,
py,
pz,
i,
E/c)
(39).
E=
=
+…
; E=
(40) для покоящегося тела. T=E-E0
[m(0)-m0]c2
E=
;
=
=>
=
(41).
▼ (41) дает связь импульса частицы с энергией покоящейся частицы.