Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

мат.-анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А. Н. ТУПОЛЕВА

Филиал «Восток»

Кафедра естественнонаучных дисциплин

и инженерной экологии

М. А. Семина

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Сборник задач

Казань – 2005

Список используемых обозначений

« – равносильность (эквивалентность)

Ù– и (конъюнкция)

Ú– или (дизъюнкция)

" – любой $ – существует

$! – существует и единственно $/ – не существует

Þ– следует

:– такое что

→ – стремится выполнять равенство

¥	– бесконечность, бесконечное множество
N, Z, Q, R, C – множества натуральных, целых, рациональных,
р	действительных, комплексных чисел, соответственно
Rn	– n-мерное пространство
R+	– пространство с положительными значениями переменных

=– тождественно

Ì– включает

Î– принадлежит

Í– включает или равно

Ï– не принадлежит

О/ – пустое множество

È – объединение множеств

Ç– пересечение множеств

\– разность множеств

®– отображение множеств, соответствие

«– взаимнооднозначное соответствие

– прямое действие (определение, теорема)

	– обратное
		, Ä ,	–	сложение,	вычитание,	умножение	и
деление,	соответственно
,	,	– возведение в степень и извлечение корня
,	,	– дифференцирование и интегрирование
О:	– определение
► – начало решения
◄ – конец решения
т.	–	точка
1°	– свойство 1
{}	– элементы множества, неопределенность
1,n	–	все значения от 1		до n

Ud (М) – дельта-окрестность т. М

С[a,b ] – множество функций, непрерывных на отрезке [а, b]

l – диаметр ограниченной фигуры (тела) ОМ – радиус-вектор

å– сумма

М	– наибольшее значение функции на множестве
m	– наименьшее значение функции
б.м. – бесконечно малая функция
НИ	– неопределенный интеграл
КИ I р – криволинейный интеграл		рода
ДИ	– двойной интеграл
ПИ I р – поверхностный интеграл I		рода
ТИ –	тройной интеграл
НсИ – несобственный интеграл
! – факториал
∏ – поток векторного поля
C – циркуляция векторного поля
D –	оператор Лапласа
Ñ–	оператор Гамильтона

f : X ® Y – функция f , отображающая множество X в множество Y

Введение

Предлагаемый вашему вниманию сборник задач«Математический

анализ», предназначен для студентов ВТУЗов. Он содержит примеры и задачи прикладного характера с решениями(для разбора на практических занятиях или самостоятельно), упражнения для самостоятельной работы, систему

текущего контроля знаний(в виде расчётных заданий, контрольных

исамостоятельных работ, вопросов для самопроверки) по темам

«Криволинейные интегралы», «Ряды», «Поверхностные интегралы» и «Теория поля». Каждая тема снабжена перечнемосновных понятий и формул,

представленных в виде таблиц изображений(матриц). В конце каждой главы помещены вопросы для самопроверки, требующие активной работы читателя.

Формулировки определений даны в рамках, начало решения примеров

печатается знаком ►, конец - знаком ◄.

Задачник вместе с конспектом лекций составляет учебно-методический

комплекс, который ставит своей целью не только сообщить читателю сведения по высшей математике, необходимые для изучения смежных и специальных

дисциплин,	но и	развить у него логическое мышление, содействовать
развитию	навыков	применения математического аппарата и подготовить

к самостоятельному накоплению математических знаний.

Он может быть использован студентами I курса инженерно-технических специальностей вузов.

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ ДУГИ (I РОДА)

( КИ I р )

ò f (x, y)dl

mL = òr(x, y) dl – масса материальной кривой (физический смысл КИ I р)

Вычисление КИ I р

È				È	[a,b ,]	È
1. AB : x = x(t ), y = y(t ),				2. AB : y = y(x ), x Î	[a,b ,]	3. AB : r = r(j ), j Î[a, b ],
t Î[a, b ], x(t ),				¢		¢
t Î[a, b ], x(t ),				y(x )ÎC[a,b ,] $ y (x )		r(j )ÎC[a, b ], $ r (j )
y(t )ÎC[a,b ],				"x Î(a,b )		"j Î(a, b )
¢	¢	t(")t	Î(a, b )
$ x (t ), y		t(")t	Î(a, b )

¢2

I = ò

I =

f (r cosj, r sin j) r

+ r

f (x(t), y(t)) (x (t))

+ ( y (t))

I = ò

f (x, y(x)) 1+ ( y (x))

1.1.Вычисление КИ I р

Примеры решений

1.1.1. Вычислить КИ I р ò y2dl, если L : x = a(t - sin t ), y = a(1 - cost ),

t Î[0, 2p ].

►Так как криваяL задана параметрически, то воспользуемся

формулой

для случая 1:

¢ 2

dt) .

I = ò y

dl =

ò y

)

+ y(

Для

этого

найдём

(t)= a(1 - cos t )

Тогда

y (t )= a sin t.

a2 (1 - cos t) a2 (1 - cos t )2 + a2 sin 2 tdt =a3

I = ò

ò(1 - cos t )

dt =

2 - 2cos t

= ì1 - cos t = 2sin 2

ü = a

8sin 4

dt = -16a

sin 4

d cos

sin

2þ

3 2p

2 t ö2

3 t

5 t ö

= -16a

ç1 - cos

d cos

= -16a

çcos

2cos

çcos

2 ø

2 3

2 øø

256a3

=16a3ç1 -

+1 -

÷ =

. ◄

1.1.2. Вычислить

ò ydl,

где L – часть

параболы y2 = 2 px,

вырезаемая

параболой

x2 = 2 py.

►

Здесь

криваяL

задана

декартовых

координатах, поэтому

применим

формулу случая

1 + (y¢ )2 dx.

I = ò ydl = ò y

1 ö¢

y¢ = çç(2 px

÷÷

Определим

2 px

Пределы

интегрирования a

определяются как абсциссы точек

пересечения парабол,

т. е. А (0, 0)

В (2р, 2р).

Тогда

3 ö

2 p

(2x + p)

(5 5 -1). ◄

I = ò 2 px 1 +

dx =

= p

2 px

1.1.3. Вычислить òarctg

dl,

если L : r = 2j

внутри r = R.

► Задание кривойL в полярных координатах делает необходимым

применение

формулы случая

r 2 + (r¢ )2 dj.

I = òarctg

dl = òj

Пределы

изменения

переменной интегрированияj

определяются

как a = 0,

b =

(из заданной кривой)

r¢ = 2.

Тогда

I = òj 4j2 + 4dj = ò2j j2 +1dj = ò j2 +1d (j2 +1)=

(j 2 +1)

ç(R2 + 4)

- 8÷. ◄

						Аудиторные задачи
Вычислить КИ I р. по длине дуги кривой L,							если
1.1.4. I = ò(x + y)dl,					L -треугольник ABO, A(1,0),		B (0, 1),	O (0,0).
L
1.1.5. I = ò			dl,		L : x = a(cos t + t sin t ), y = a(sin t - t cos t ),			t Î[0, 2p ].
	x2 + y2
L
1.1.6. I = ò x				dl,		L : (x2 + y2 )2 = a2 (x2 - y2 )
		x2 - y2					( x ³ 0 – половина
L

лемнискаты Бернулли).

Задание на дом

ydl

если L

линии x = t,

y =

t 2

z =

t 3

1.1.7.

Вычислить

–

дуга

x + 3z

от т.

O (0,0,0)

до т. A

2, 2,

÷.

1.1.8. Определить ò xydl, если L – четверть эллипса

(x ³ 0, y ³ 0).

Ответы:

1.1.4.

+1.

1.1.5.

çç(1+ 4p 2 )

-1÷÷ .

1.1.6.

3 2

a2 + ab + b2

1.1.7.

1.1.8.

3(a + b)

Вопросы для самопроверки

Какая

связь

существует

между

КИ I р и ОИ?

чём

состоит физический

смысл КИ I

р?

Почему

КИ I

р не

зависит

от

направления интегрирования?

Запишите

выражения

для

дифференциала

длины

дуги

пр

параметрическом

задании

кривой и

в полярных

координатах.

Постройте

примеры

интеграловf (x , y) dl,

распространённых

на

синусоиду y = sin x

или

гиперболуxy = 1

выражающихся

через

элементарные

функции.

Литература:

[ 1. с.9-14; 2. с.129-131;

4. с.235-238; 5. с.301-311;

6. с.38-47 ].

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ

( II РОДА ) ( КИ II Р )

	I = ò P(x, y dx) + Q(x, y dy)		= lim	ån (P (xi ,hi )Dxi +Q(xi ,hi )Dy1
		L	max D xi ®0 i =1
			max D yi ®0

®		®	®	®
F = {P, Q},		dr = {dx, dy} Þ	Е = ò F	(x , y ×)dr = òP (x , y dx) + Q (x, y dy) –
			È	È
			AB	AB

работа (физический смысл КИ I р).

® ®

CL = òF dr - циркуляция ( L – замкнут ).

Вычисление КИ II р

È				È		È
1. AB : x = x(t ), y = y(t ),				2. AB : y = y(x ), x Î[a,b ,]		3. AB : x = x(y ), y Î[c, d ,]
t Î[a, b ], x(t ),				¢	(x )	¢
t Î[a, b ], x(t ),				y(x )ÎC[a,b ,] $ y	(x )	x(y )ÎC[c,d ,] $ x (y )
y(t )ÎC[a,b ],				"x Î(a,b )		"y Î(c, d )
¢	¢	t(")t	Î(a, b )
$ x (t ), y		t(")t	Î(a, b )

b			d
I = ò	¢	¢	¢
I = ò	(P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t)) y (t)dt		I = ò(P(x( y), y)x ( y) + Q(x( y), y))dy
a			c

I = ò(P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y¢(x))dx

Связь между КИ I р и КИ II р

® ®

P dx + Q dy + R dz = ò(P cos a + Q cos b + R cos g ) dl

F dr = ò

Формула Грина

ÎC[D], D Ì R

Т : P (x, y), Q (x, y), Qx

, Py

L = ¶D.

Þ òP dx + Q dy = òò(Qx - Px )dxdy,

Условия независимости КИ II р от пути интегрирования

"L Ì D : òPdx + Qdy = 0 « "(A, B,C, E )Î D :

P (x, y),Q (x, y), Py ,Qx ÎC[D]

D– односвязная область

ò Pdx + Qdy

Pdx + Qdy =

D Ì R 2

ACB

AEB

"(x, y)Î D : Py¢ = Q¢x

Û P dx + Q dy = dU , U =U (x, y)-

определена в D

2.1. Вычисление КИ II р

Примеры решений

2.1.1. Вычислить КИ II р

ò(x + y) dx - xdy,

если

L – ломаная OBA,

O (0,0),

B (2,0),

A(4, 2).

► Разобьём кривую интегрирования OBA

на две части OB и BA.

Запишем их

уравнения

(рис. 1.1):

y = 0,

x - xB

y - yB

yA - yB

xA - xB

или

x - 2

y - 0

x - 2

или y = x - 2.

Тогда

(случай

2):

4 - 2

2 - 0

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>