Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

мат.-анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Расчетное задание «Числовые и степенные ряды»

Принятые

обозначения:

n = N – номер студента по списку группы;

Г - вторая цифра номера группы;

å - сумма двух последних цифр номера группы;

Ф - номер факультета;

l =

1 + остаток(N + å)

;

m =

1 + остаток(N + Г )

; n =

1 + остаток(N + Ф)

(1 + (-1 n) )m

Найти

сумму S

ЧР

U k =

-(v)m k - l v

2 èç (m k 2) + -(1 n l)

+1)

(1 - (-1 ) )2(v

((v +1)k )2 - -( 1 n )2 v +(1)k - (m2 -1)ø÷ .

II.

Исследовать на сходимость

ЧР,

если U k

равен

(1 + (-1)n )ln k + (1 - (-1))n sin 2v k

k l + (-1 n) k l -1 + m

(1 + (-1 n) )tg

k v + m

+ (1 - (-1 n) )arcsin

k + l

l +1

k m + v

(1 + (-1)n )(m + 1)k k!

(1 - (-1)n )(l +1)k (v +1)k!

k k

((1 + v)k )!

m k +v ö

ç(1

+ (-1 n) )(v +1)k -1 ×e-k

+ (1- (-1 n) )ç

÷.

è l k + m ø

1 + (-1)n

(1 - (-1)n )((m - v)k + l)

(l k + m)ln

((v +1)k + m)

(v +1)k

+ l k + (-1 ) m(

+ v)

(x + (-1 n) m)vk

III. Исследовать на

1. (-1 k)	æ	l k	övk
	+1ç		÷ .
	+1ç		÷ .
	ç		÷
	è m k + v ø

2.	(-1)k -1		.
	(k +1)(l / v m)k
3.	(-1)k			, k ³ 3.
	k ln k(ln ln k )	l +1
		m

сходимость ЧР с заданным U k :

4.	(-1)k +1(v + m)k l -v .
	k m +1 + lk v - m
5.	(-1)k sin(v +1)k .
	æ m + v	ök
	ç	÷

	è l +1	ø

IV.	Доказать	справедливость равенства ( l < 1 при применении
признаков	Д’ Аламбера	или Коши):

lim	çæ	(1 + (-1 n) )(vk )k
		(vk + (-1 n) )!
k ®¥ èç

+ (1 - (-1 n) )(l k !)ö÷ = 0.

(m + 1)n 2 ÷

V. Найти область сходимости функционального ряда с заданным U k (x):

1. (l k + m)(v +1)k .

2. (m k + v)(x - (-1 n)l)m k -1 .

vk 2 + l k + m

lk + m

3.(vk + 2l)m +1(x + (-1 n)l)vk .

	k 2 + m k - l
4.				.
	((l + 1)(x - (-1 n)v))k
5.	(x + (-1 n) m)k 2		.

	æ l ök 2
	ç	÷

	è v ø

VI.

Разложить

функцию

f (x) = (v +1)xv +1 + (-1)n xv - m

по степеням

(x + (-1)n l).

VII Вычислить приближенно с точностью

d =10-3.

1. (1 + (-1 n) )e-

+ (1 - (-1 n) )cos(n + (-1 n) 4m).

2. n +1

m +l

(m +1)n +1 + l

)

3. ln(n + m).

4. (1 + (-1 n) )

sin(2l + (-1)

. 5.

m+11 + xn +1 dx .

(m +n )+ (1 - (-1 ) )arctg m +n

Контрольная работа «Числовые и степенные ряды»

1. Записать U n = f (n).	Выполняется	ли	необходимое	условие
сходимости ЧР?

1.1.				1												+								2																	+		3					+ ... .
1.1.																+																									+							+ ... .
		1001																			2001																					3001
																															+														+ ... .
1.2.							2		+															3																4
1.2.				1					+															2																3
				1																				2																3
																															+														+ ... .
1.3.							2		+															3																4
1.3.				1					+															2																3
				1																				2																3
1.4.			2			+								4						+								6				+ ... .
1.4.		5				+														+												+ ... .
		5										6												7
1.5.				1								+											1											+ ... .
1.5.			ln 2									+										ln 3												+ ... .
			ln 2																			ln 3
1.6.		1 +									1										+						1							+ ... .
1.6.		1 +																			+													+ ... .
				2!																				3!
1.7.				1																+														1								+					1			+ ... .
1.7.												2								+				1 + 2														2				+							2	+ ... .
		1 +1																						1 + 2																		1 + 3
1.8.	1							+		1																+			1						+ ... .
1.8.								+																		+									+ ... .
3				32																				33
1.9.				1																+														2								+					3			+ ... .
1.9.												2								+				1 + 2														2				+							2	+ ... .
		1 +1																						1 + 2																		1 + 3
1.10.					1			+											1							+								1						+ ... .
1.10.				2				+																		+														+ ... .
				2								22																						23
1.11. 1 +													1										+		1													+	1							+ ... .
1.11. 1 +																							+															+								+ ... .
												8												27														64
1.12.					1													+						1													+					1					+ ... .
1.12.				1 × 4														+																			+			3 × 6							+ ... .
				1 × 4																				2 × 5																3 × 6
1.13.				1 +											1						+									1			+					1						+ ... .
1.13.				1 +																	+												+											+ ... .
												4												9										16
1.14.					1												+							1												+						1					+ ... .
1.14.																	+						3 × 5													+				5 × 7							+ ... .
				1 × 3																			3 × 5																	5 × 7

1.15.		1	+	1	+	1	+ ... .
	1 × 2					3 × 4
				2 × 3

1.16.3 + 3 + 33 + 32 + ... .

1.17.1 + 2 + 3 + ... .

2! 3! 4!

1.18.22 + 33 + 44 + ... .

1.19.22 + 33 + 44 + ... .


1.20.		1		+		1		+	1		+ ... .
		ln 2			ln 2 3				ln3	4

1.21.	1 +			1			+	1		+		1	+ ... .
								3 ln 3
			2 ln 2									4 ln 4

1.22.1 + 1 + 1 + ... .

3! 5! 7!

1.23.1 + 2 + 3 + 4 + ... .

3		5	7
1.24. 1 +	1	+	1	+	1	+ ... .
			300		4000
20

1.25.1 + 1 + 1 + ... .

1! 2! 3!

1.26.2 + 4 + 6 + 8 + ... .

3 5 7 9

1.27.1 + 2 + 3 + ... .

5 6 7

1.28.	1	+	2	+	3	+	4	+ ... .

4		9		16		25

1.29.1 + 3 + 5 + ... .

2 4 6

1.30.1 + 3 + 5 + ... .

3 5 7

2.Исследовать на сходимость ЧР.

	¥			n2 + n
2.1.	å														.
2.1.	å														.
	n =1 3n (n + 2)
	¥			6n +2
2.2.	å												.
2.2.	å												.
	n =1 n3				+ 3n
	¥	4n			n!
2.3.	å							.
2.3.	å							.
	n =1 nn
2.4.	¥	(n +1)(n + 2)															.
2.4.	å					4n +1											.
	n =1					4n +1
	¥			2n
2.5.	å													.
2.5.	å													.
	n =1 n2				+ 2n
	¥		n3			+ 1
2.6.	å									.
2.6.	å									.
	n =1 3n +1
	¥	n3			+ 1
2.7.	å								.
2.7.	å								.
	n =1 3n				+1
	¥			2n
2.8.	å									.
2.8.	å									.
	n =1 5n					+1
	¥					1
2.9.	å					1										.
2.9.	å															.
	n=1 4 × 2n								- 3
	¥					n
2.10.	å					n					.
2.10.	å										.
	n=1 (						n )
	n=1 (					3	n )
	¥					4
2.11.	å					4						.
2.11.	å											.
	n =1 n3 + 1

¥2n

2.12.å 4 .

n =1 n

¥72n

2.13.nå=1 (2n -1)!.

¥(3n -1)!

2.14.nå=1 (4n - 3)!.

¥2n

2.15.å .

n =11 + n2

	¥	3n
2.16.	å			.

	n=1 n 2n
	¥	n2
2.17.	å		.

	n =1 n!

¥n +1

2.18.å.

n =1 n

	¥			n + 1
2.19.	å			n + 1		.
2.19.	å					.
	n =2 2n (n -1)!
	¥	2n +1(n3 +1)
2.20.	å							.
2.20.	å			(n +1)!				.
	n =1			(n +1)!
	¥	10n n !
2.21.	å				.
2.21.	å		(2n )!		.
	n =1		(2n )!
	¥			(2n +	2)!
2.22.	å						.
2.22.	å						.

n =1 2n (3n + 5)

¥6n (n2 -1)

2.23.å

n =1 n!

¥n2

2.24.nå=1 (n + 2)!.

	¥	72n
2.25.	å				.
2.25.	å	(2n -			.
	n =1	(2n -	1)!
	¥					(2n -1)
2.26.	å1×3 × 5 ×...×					(2n -1)	.
2.26.	å1×3 × 5 ×...×						.
	n=1				3n ×(n +1)!
2.27.	¥	(n +1)!		.
2.27.	å	nn		.
	n=1	nn

¥3n

2.28.nå=1 (n + 2)! 4n .

	¥			(3n - 2)
2.29.	å1× 4 × 7 ×... ×				.
2.29.	å1× 4 × 7 ×... ×			×9 ×11×... × (2n + 5)	.
	n=1		7	×9 ×11×... × (2n + 5)
2.30.	¥	(3n + 2)!	.
2.30.	å		.
	n =1 104 n2

3. Исследовать на сходимость ЧР.

3.1.	å¥ (-1)n +1(2n +1).
	n =1			n(n +1)
3.2.	å¥		(-1)n +1			.

	n =2 ln(n + 1)
3.3.	å¥	(-1)n 2n2					.

	n =1 n4 - n2 + 1
	¥			n
3.4.	å			(-1)				.
				n ln (n +1)
	n =3
	¥	æ				n			ön
3.5.	å(-1 n)+1ç								÷ .
					2n			+1
	n=1	è							ø

¥(-1)n

3.6.nå=3 (n +1)ln n .

¥(-1)n +1

3.7.å .

n =1 n 42n + 3

¥sin n

3.8.å .

n =1 n!

¥(-1)n-1

3.9.nå=1 (n +1) 22n .

3.10. å¥	(-1)n-1			.
	æ	3	ön
n=1
	(n + 1)ç		÷
		2
	è		ø

3.11.	å¥ (-1)n (n + 3).
	n =1	ln (n + 4)
3.12.	å¥ (-1)n (n + 3).
	n =1	ln (n + 4)
3.13.	å¥	(-1)n	.

	n =3 n ln(2n )
3.14.	å¥ (-1 n) cos			p	.

	n=1			6n

3.15. å¥ (-1)n (2n -1).
n =1	3n
3.16. å¥ (-1)n	(n	+1).

n=1	n5

¥(-1)n

3.17.nå=0 (2n + 1) 22n+1 .

3.18.å¥ (-1 n)(n2 + sin 2 n).

n =1

3.19. å¥ (-1 n)(n2 + sin 2 n).	3.25. å¥ (-1)n -1(2n +1).
n =1	n =1 n (n +1)

3.20. å¥ (-1)n -1 .
	n =1	7n +1
3.21. å¥ (-1)n -1 .
	n =1	7n +1
3.22.	å¥	(-1)n-1	.
3.22.	å¥		.
	n=1 (2n +1)2 -1
	¥	(-1)3n -1
3.23.	å			.
3.23.	å	(3n - 2)(3n +1)		.
	n =1	(3n - 2)(3n +1)
3.24.	¥ (-1)n -110n
3.24.	å	.
	n =1	n!

3.26.	å¥ (-1)n -1 n2 .
	n =1	2n2 + 1
3.27.	å¥	(-1)n-1	.

	n=1 (2n -1) 3n

¥ (-1)n -1

3.28 å .

n =1 n4

3.29.	¥ (-1)n-1(2n -1)
	å	(			n )	.
	n=1			2
3.30.	å¥	(-	1)n n		.


	n =2 n n -1

4. Найти область сходимости СР или функционального ряда.

¥ (x -1)2n

4.1. å .

n=1 n 9n

4.2. å¥ (-1)n -1(x - 2)2n .
	n =1	2n
	¥	n3 +1
4.3.	å		.

	n=1 3n (x - 2)n
4.4.	å¥	(x + 5)2n -1 .
	n =1 4n (2n -1)

¥(x - 2)n

4.5.nå=1 (3n +1) 2n .

4.6.	å¥ (x + 5)n tg				1	.

	n=1				3n
	¥	1
4.7.	å						.

	n =1 n 9n (x -1)2n
4.8.	å¥	(x + 2)n		.

	n =1		nn

4.9. å¥ (3n - 2)(x - 3)n .
	n=1 (n +1)2 2n+1
	¥								1
4.10.	å								1		.
4.10.	å		(n + 2)ln (n + 2)(x - 3)2n								.
	n =1		(n + 2)ln (n + 2)(x - 3)2n
	¥					1
4.11.	å					1				.
4.11.	å									.
	n =5 2n n2 (x + 2)n
	¥		n5
4.12.	å						.
4.12.	å						.
	n =1 xn
4.13.	å¥	4n (x +1)2n							.
4.13.	å¥								.
	n =1						n
	¥				n2 +1
4.14.	å								.
4.14.	å					(x + 4)n			.
	n=1 5n					(x + 4)n
	¥		n		2		n
4.15.	å		n			(x - 3)		.
4.15.	å							.
	n =1			(n4 + 1)2
4.16. å¥ (-1)n (x - 3)n .
	n=1				(n +1)5n

4.26. å

n =1

¥2n + 3

4.17.nå=1 (n +1)3 x2n .

¥(x - 5)2n +1

4.18.å 3n + 8 .=

	n 1
	¥		n!
4.19.	å					.
4.19.	å					.
	n =1xn
	¥			(x - 7)2n -1
4.20.	nå=1	(2n3 - 5n)4n							.
	¥					3n
4.21.	å			3n (x - 2)				.
4.21.	å							.
	n=2				(5n -8)3
	¥					xn.
4.22.	å3n					xn.
	n =1				2	2n	+1
	¥	n			2	2n	+1
4.23.	å	n				(x + 5)				.
4.23.	å					(n + 1)!				.
	n =1					(n + 1)!

¥ (x - 5)n

4.24. nå=1 (n + 4)ln (n + 4).

¥ (x - 4)n

4.25. å nn +1 .

n +1

n =1 3n (x + 3)n .

¥3n + 5

4.27.nå=1 (2n + 9)5 (x + 2)2n .

¥(x + 2)n

4.28.nå=1 (2n +1)3n .

¥(x + 2)n

4.29.nå=1(2n +1)3n .

¥2n n

4.30.nå=1 (x - 2)2n .

В заключении рассмотрим решение типового билета:

1.31.

Записать Un :

+ ... . Выполняется ли необходимое

условие сходимости

ЧР

lim U n = 0?

n®¥

3n - 2

2.31.

Исследовать

на сходимость ЧР

å1× 4 × 7 ×... ×

n =1

2n +1!n!

n æ

11 ön

3.31.

Исследовать

на

сходимость

ЧР

(-1 )ç

÷ .

n =1 n5

10 ø

¥ n! xn

4.31.

Найти область

сходимости

n =1 (2n !)

► 1. Заметим,

что в числителях членов заданного знакоположительного

ЧР стоит выражение 2n, а в знаменателях при n =1 - 4, n = 2 - 7, n = 3 - 10,

n = 4 - 13 или (3n + 1). Тогда U n = f (n )= 2n . Имеем: 3n + 1

lim U n = lim

¹ 0,

n®¥

n®¥ 3n +1 3

т. е. необходимое

условие

сходимости

ЧР не

выполняется.

2. Воспользуемся признаком Д’ Аламбера,

согласно которому имеем

lim

U n+1

= lim

1× 4 × 7 ×... × (3n - 2)(3n + 1)

1× 4 × 7 ×... × (3n - 2)

n®¥ U n

n®¥

2n +2 (n + 1)!

2n+1 n!

= lim

3n +1

>1,

n®¥ 2(n +1)

т. е.

ЧР расходится.

3. Применим к заданному знакочередующемуся ЧР признак Лейбница.

Имеем:

11 ö

1 æ11

ö3

÷ > ...,

10 ø

2) lim

11 ön

ì¥

lim

11 ön

ì¥

÷ = í

= í

ý =

n®¥ n5

î¥

n ®¥è

ø 5n4

10 î

= ... = lim

æ11 ön

ln5

= ¥ ¹ 0.

n®¥ è10 ø

ì¥ü

Для

раскрытия

неопределённостиí

мы

применим

правило Лопиталя

î¥þ

(5 раз). Признак

Лейбница

не

выполняется, значит,

исследуемый

ряд

расходится.

4. Для определения радиуса сходимости данного СР воспользуемся

признаком Д’ Аламбера:

R = lim

= lim

n !(2n + 2)!

= = lim

(2n + 2)(2n + 1)

= ¥,

n®¥ an +1

n®¥ (n +1)!(2n !)

n®¥

n + 1

т е.

СР сходится

на

всей числовой

оси

(x Î R). ◄

5. Ряды Фурье

	a0	¥	(1)
Тригонометрический ряд	a0	+ åan cos nx + bn sin nx, a0 , an , bn Î R "n Î N
Тригонометрический ряд		+ åan cos nx + bn sin nx, a0 , an , bn Î R "n Î N
2		n=1
		n=1

åU n (x )- сход. равномерно Û "e >0	$N = N(e): n > N Þ		Rn (x)		=		S(x)-Sn (x)		<e

n=1 "x Î X						"x Î X
Свойства (1):	1°. S (x)- непр. и период. c T = 2p .
2°. "j (x )Î		n	Þ	¥
				¥

		1{, cos kx, sin kx}k=1		j(x ) åU n (x )	<	Rn (x )	< e.
		1{, cos kx, sin kx}k=1		j(x ) åU n (x )	<	Rn (x )	< e.
				n=N +1

p¥

3°. $ ò å(x )dx .

-p n =1

Признак равномерной сходимости (Вейерштрасса): åan - сход. an > 0, n =1

$N : "n ³ N "x Î X : U n (x) £ an Þ åU n (x )- сх. равномерно n=1

Ряд Фурье для f (x)

T T

2px ö

(1) с a0 =

f (x )dx,

an =

f (x )cosç

÷dx,

-T

æ 2px ö

bn =

f (x )sinç

÷dx,

- период.

(2)

-T

Т (Дирихле) : f (x )= f (x ± T ) "x Î[a, a ± T ]: ü
1.	f (x )Î C[a,a±T ] Ú $( x1 ,..., xk ) - m.p. I p.					ï
						ï	Þ
2.	$ f (x )"x Î[a, a ± T ], a = x		, x ,...x			ý
		0		k	= a + T :
			1			ï
f (x )- мнотонна и огрниченна "(xi+1 , xi )						ï
						þ

i = 1, k

ряд Фурье сходится :

ì f (x ), x - m. непр.

S (x )= ï

íï1 (f (x0 - 0)+ f x(0 + 0))

î2

x0 - m.p. I p

f (x) = f (x ±T ), T = 2p

f (x)= f (x ±T ), T = 2l

f (x)¹ f (x ±T)

f (x)= f (- x)

f (x)= - f (- x)

f (- x)= f (x)

f (- x)= - f (x)

		x Î[0,l]Þ
1		"x Î[- l, 0]:
1	2
	2

a0	¥						ü
a0	åan cos nx,						ï
2	åan cos nx,						ï
2	n =1						ï
	n =1						ï
			2 p				ï
a0 =			2 p				ï
					ò f (x )dx,		ý (3)
		p			ò f (x )dx,		ý (3)
				0			ï
			2 p				ï
an =			2 p			( )	ï
					ò f	x cos nxdxï
			p		ò f	x cos nxdxï
				0			þ
				1

¥			ü
åbn sin nx,			ï
n =1			ï	(4)
	2 p		ý	(4)
	2 p		ï
bn =		ò f (x )sin nxdx	ï
bn =	p	ò f (x )sin nxdx	ï
		0	þ

npx

f (x)= f (- x)

Ú f (x)= - f (- x)

åbn sin

,ï

n=1

f (x )×ýï(6)

0ò

æ npx ö

×sinç

÷dx

(5)

(6)

npx

+ åan cos

n=1

f (x )dx,

ýï(5)

l ò0

2 l

æ npx ö

f (x )cosç

÷dx

1 ò

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>