Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

мат.-анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

5.1. Коэффициенты Фурье. Ряд функций с периодом 2p

5.1.1.

Разложить

периодическую

T =с2p

функцию

f (x )= íì1,

x Î(0, p ),

ряд

Фурье,

построить

графики

его первых частичных

x Î(- p , 0)

сумм S0 (x), S1 (x), S2 (x) и S3 (x)и найти

значение S (x0 )

суммы

полученного

ряда в заданной точке

x0 = p.

► График

заданной

функции

имеет

,видзображённый

на рис.

5.1

(сплошная линия), т.е.

f (x)- произвольного вида

и ряд

Фурье

имеет вид(1)

с коэффициентом (2). Имеем

1 p

a0 =

ò f (x )dx =

ò1dx =

=1,

-p

an =

ò f (x )cos nxdx =

òcos nxdx =

-p

sin nx

= 0 ,

p sin nxdx =

f (x )sin nxdx

Рис. 5.1.

-p

cos nx

(1 - (-1 n)). Тогда

(1 - (-

1)n )sin nx

f (x)~

2 æ

sin 3x

çsin x +

+ K÷.

2 p n =1

2 p è

Для

первых

частичных

сумм

получим:

(x )=

S (x )=

+ 2sin

(x)= S (x),

(x )=

2sin nx

2sin 3x

Построим

графики

этих

сумм,

обозначая

S0 (x)= --,

S1(x)= S2 (x)- × -

S3 (x)- ×× - (рис.5.1).

. т

x0 = p

sin(2n -1)= 0

S1(x0 )= 1 . ◄ 2

Аудиторные задачи

Разложить

периодическую

сT = 2p

функцию f (x)

ряд

Фурье,

построить

графики

её

первых

частных

суммS (x),

S (x),

(x) и

(x)

и найти значение S (x0 ) суммы полученного ряда в заданной точке

x0 :

5.1.2.

f (x )=

p - x

, x Î(0,

2p ),

5.1.3.

f (x )= íìx,

x Î(- p ,

0),

x0 =

î2x, x Î(0, p ),

5.1.4.

f (x )= íì0,

x Î(0, p ),

x0 =

î- x, x Î(- p , 0),

Задание на дом

5.1.5.

Разложить

ряд

Фурье

функциюf (x )= íìp ,

x Î(- p , 0),

- x, x Î(0, p ),

с T =

æp ö

и найти S ç

÷.

4 ø

5.1.6. Разложить в ряд Фурье

f (x )= íì- 2,

x Î(0, p ),

1, x Î(- p , 0).

Ответы:

¥ sin nx

æp

5.1.2

f (x )= å

Sç

n =1

è 2

	p		2	¥ cos(2n -1)x		¥	n+1 sin(2n -1)x
5.1.3. f (x )=		-		å		+3å(-1	)		,
	4				(2n -1)2			2n -1
			p n=1			n=1

æp ö

Sç ÷ = p . è 2 ø

5.1.4. f (x )=

cos (2n -1)x

+1 sin nx

- å(-1 )

S ç

(2n -1)2

p n =1

n =1

5.1.5. f (x )=

n +1 sin nx

cos (2n -1)x

æp

- å(-1

)

, S ç

n =1

p n =1

(2n -1)2

sin(2n -1)px

5.1.6. f (x )= -

p n =1

2n -1

5.2. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций

5.2.1.Разложить в ряд Фурье2p - периодическую функцию f (x),

ì1, x Î(0, p ),

заданную на отрезке x Î[- p ,p ] следующим образом: f (x )= í

î-1, x Î(- p , 0).

► Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезкеx Î[- p ,p ]

и по теореме разложения может быть представлена радом Фурье. Вычислим коэффициенты ряда Фурье. Поскольку функция f (x) нечётная, воспользуемся

формулой (4).

Получаем:

(1 - (-1 n))=

bn =

òsin nxdx = -

cos nx

, n Î N.

(2n -1)p

Таким

образом, ряд

Фурье

функции

f (x) имеет

вид:

f (x )=

sin(2n

-1)x

p n =1

2n -1

С помощью рядов Фурье можно находить суммы многих интересных ЧР.

Например подставляя в полученный ряд x = p , обнаружим

	¥ (-1)n		p
	å	=		. ◄
			4
	n =12n -1
5.2.2. Разложить	в ряд Фурье2p	-	периодическую функцию f (x)= x2 ,
заданную на отрезке	x Î[- p ,p ].
► Эта функция	кусочно монотонна, ограниченна на отрезке x Î[- p ,p ]

и по теореме разложения может быть представлена рядом Фурье. Поскольку

эта функция

чётная,

воспользуемся формулой

(3).

Получаем:

u = x2 , dv = cos nxdx

a0 =

ò x2dx =

an =

ò x2 cos nxdx =

sin nx

du =

2xdx, v =

=	2	æ	2	sin nx
		æ	2
		ç x
		ç
	p	ç		n
		è
		è

p	p		ö		u = x, dv = sin xdx
	- 2ò	xsin nxdx ÷		=		cos nx	=
			÷
		n			du = dx, v = -
0	0		ø			n

x cos nx

p cos nxdx ö

4x cos nx

4cos np

4(-1 n)

+ ò

= -

÷ =

Таким

образом,

ряд

Фурье

для

данной

функции

имеет

вид:

f (x )=

p 2

n cos nx

+ 4 å

(-1 )

n =1

Этот ряд

сходится

во

всех

точках

и его

сумма

равна

f (x) . ◄

Аудиторные задачи

Указанные функции

разложить

в ряд Фурье в интервале(-p,p).

Определить сумму ряда в точках разрыва и на концах интервала(-p, p),

построить

график

функции

суммы

соответствующего

(также и вне

интервала (-p,p)):

ìp - x

x Î[0, p ),

5.2.4.

f (x )=

p 2

5.2.5.

f (x)= x3.

5.2.3. f (x )= í

p + x

x Î[- p , 0).

ï-

5.2.6. f (x)= cos ax.

Задание на дом

Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) с периодом

T = 2p ,

если:

f (x )= f -(x . )

5.2.7. f (x) = sin ax.

5.2.8.

ïx,

x Î

ê0,

ú,

f (x )= íï

ép

ïp - x,

x Îê

p ú

Ответы:


5.2.3. f (x )= å¥	sin nx				.

n =1		n
¥ æ		12				2p 2 ö		n
5.2.5. f (x )= åçç				-			÷÷(-1	) sin nx.
			3			n
n =1è n							ø

5.2.4. f (x )= å¥ (-1 n)+1 cos nx .
n =1	n2

5.2.6.	f (x )=	2sinpa æ 1
			ç
		p		2a
			è

¥	n-1	cosnx ö
+ aå(-1	)			÷,	a ÏZ,	f (x )= cosax, a ÎZ.
		n2	- a2
n=1				ø

2sinpa ¥

n+1

nsin nx

5.2.7. f (x )=

å(-1

)

a ÏZ ,

f (x )= sin ax, a ÎZ.

n2 - a2

n=1

5.2.8. f (x )=

¥ æ

ö cos nx

åç

2cos

-1 - cos np ÷

p n =1è

5.3.Ряд Фурье для функций с периодом 2l .

Разложение в ряд Фурье непериодических функций

5.3.1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную несколькими

ì1,

ï0,

формулами f (x )= ï

ï1,

ïî0,

x Î(-1, -1 + a ),

x Î(-1 + a, 0),

где a – некоторое число, a Î(0, 1).

x Î(0, a ), x Î(a, 1),

► Разложим заданную функцию в ряд

1 l

æl +a

ò f (x )dx =

dx +

ò0 dx + ò dx +

ç ò

ò 0 dx ÷ =

-l

è -l

-l +a

Легко

видеть,

что

1 l

æ npx ö

npa

ò f (x )cos ç

÷dx

((-1 ) +1)sin

æ-l +a

l -l

æ npx ö

æ npx

npa ö

÷dx

((-1 ) +1)ç1 - cos

bn =

ç ò sinç

÷dx + òsinç

÷ ,

è -l

l ø

таким

образом,

при

n = 2k +1

(нечётном)

все

a2k +1 = b2k +1 = 0 ,

2kpa

b2k

1 æ

2kpa ö

k Î Ν .

тогда

как

a2k =

sin

ç1

- cos

÷,

kp è

Особенно

простой

результат

получается,

если

a =

Тогда

sin kp = 0,

(1 - cos kp )=

1 - (-1)k

и ряд

принимает

вид:

f (x )=

2 æ

2px

6px

çsin

sin

+ K÷ . ◄

p è

5.3.2. Разложить

функцию

f (x)= x(p - x)

в ряд синусов в интервале

(0,

p ).

Использовать полученный результат

для

нахождения

суммы

ряда

¥ (-1)n -1

nå=1

(2n -1)3

► Так как по условию задачи заданная непериодическая функцияf (x)

доопределяется

на

интервале(- p ,0)

нечётным

, образом

воспользуемся

формулой (6):

x(p - x)sin nxdx =

u = px - x2 , dv = sin nxdx

p 0ò

du = (p - 2x)dx, v = -

cos nx

x(p - x)cos nx

öp

u = p - 2x, dv = cos nxdx

ç-

÷ò(p

- 2x)cos nxdx =

du = -2dx, v =

sin nx

ø0

1 - (-1 n)

ç(p - 2x)sin nx

+ 2òsin nxdx ÷ = -

3 cos nx

= 4

ряд

принимает

вид:

sin(2n -1)x

(x )=

p n =1 (2n -1)3

При x = p получим

æp		ö	æp		ö
f ç		÷	= Sç		÷	=
	2			2
è		ø	è		ø

æ	p ö
p çp -		÷		p 2		8	¥	(-1 n)-1
	2
è		ø
			=		=		å		.
2				4
						p n =1(2n -1)3

Тогда сумма заданного ЧР

¥	(-1)n -1		p 3
S = å		=		. ◄
			32
n =1(2n -1)3

Аудиторные задачи

I. Разложить в ряд Фурье функции f (x) с периодом T = 2l :

5.3.3. f (x)= cos x, x Î(0, 1), l =1.

ì1, x Î(- 2, -1),

5.3.5. f (x )= ïí0, x Î(-1, 1),

ïî1, x Î(1, 2 ,)

II. Доопределяя			заданную
ряд Фурье:
5.3.6. f (x) = ex , x Î(0,			ln 2)
по косинусам.
ì			æ			l	ö
ïx,		x	Îç	0,			÷,
ïx,		x	Îç	0,		2	÷,
5.3.8. f (x )= íï			è			2	ø
ï1	- x, x		æ l		, l		ö
			Îç				÷.
			Îç				÷.
ï			è 2				ø
î			è 2				ø

55.3.4. f (x )= cos x, x Î	é	p		p ù		p
	ê-		,		ú, l =		.
		2		2		2
	ë				û

l = 2.

на(0, l ) функцию f (x) , получить для неё

5.3.7. f (x) = xsin x, x Î(0, p )

по синусам.

По а) косинусам

б) синусам.

Задание на дом

5.3.9.

Разложить

ряд

Фурье периодическую

функцию

T = 2l

f (x )= x2

1 ö

+ x +1, x Îç-

÷,

l =

2 ø

5.3.10. Доопределяя необходимым образом заданную функцию в промежутке

(0,1)

функцию

до

периодической, получить

для

неё

ряд : Фурье

а) по косинусам,

б)

по синусам.

Используя полученный

ряд,

найти длину

ЧР

1)n +1

n=1

Ответы:

sin 2npx

+1 cos 2nx

5.3.3. f (x )=1 -

5.3.4. f (x )= 2p +

å(-1

)

4n2 -1

p n =1

n cos (2n -1)px

5.3.5. f (x )=

å(-1 )

p n =1

¥ (2cos np -1)cos

npx

p sin nx

nsin 2nx

5.3.6. f (x )=

+ 2ln 2 å

ln 2

. 5.3.7.

ln 2 2 + n2p 2

ln 2

n =1

n =1(4n2 -1)2

f (x )=

4l ¥

(-1)n -1

(2n -1)px

5.3.8. а)

nå=1

sin

p 2

(2n -1)2

б) f (x )=

¥ 1 æ

npx

2cos

1 - cos np ÷cos

4 p 2

nå=1n2 è

5.3.9. f (x )=

+ å¥ (-1 n)

cos 2npx

+ (-1 n)+1

sin 2npx

n =1

(pn 2)

5.3.10. а)

f (x )=

å(-1 )

cos npx,

p 2

n =1

б) f (x )=

å¥

(-1 n)+1 +

((-1 n) -1)sin npx,

S =

p 2

n3p 2

p n =1n

Вопросы для самопроверки

	π			n = k , б) n ¹ k ?
1.	Чему равен òsin nx sin kx dx ,	если	а)	n = k , б) n ¹ k ?
	-π
Возможные ответы: 1) 0; 2) 1;		3)	π ;	4) 2π .

2.Некоторую периодическую функцию представляют тригонометрическим

рядом Фурье. Известно, что

æ 1

æ nππ ö

x sinç

÷dx +

sinç

÷dx÷,

= 0 .

ç ò

3 ø

è-1

Выбрать график

этой

функции:

3. Пусть

ряд

Фурье

функцииf (x)

имеет

видf (x )= å¥ bn sin

2πnx

n =1

По известному фрагменту графика этой функции

указать график функции

f (x) .

на интервале ç

Возможные ответы:

Дана

функцияf (x )= (π 2 - x2 )2

. Убедиться, что имеют место равенства

f (- π )= f (π),

¢¢

(но

¢¢¢

f (- π )= f (π ),

f (- π )= f

(π )

f (- π)¹

f (π )).

Используя полученные

равенства,

разложить

функцию

f (x) в ряд

Фурье

в интервале

(- π, π) и вычислить сумму ЧР

å¥ (-1)n -1 .

n =1

Возможные ответы:

1) f (x )=

8π 4

cos nx

27π 4

- 48 å(-1

)

, S

n =1

2) f (x )=

8π 4

cos nx

7π 4

- 48 å(-1

)

, S

720

n =1

8π 4

cos nx

7π 4

3) f (x )=

+ 48 å(-1

)

, S =

720

n =1

Самостоятельная работа «Ряды Фурье»

1.(1 - 10) Разложить в ряд Фурье четную или нечетную функцию f (x) .


(11	- 30)	Разложить			в ряд Фурье с периодомT функцию f (x)
на заданном интервале.
1.1	f (x) =1,	x Î (0, 2),		f (x) = f (-x).
1.2	f (x) =1,	x Î(0, 2),		f (x) = - f (-x).
1.3	f (x) = 2,	x Î (0, 2π ), f (x) = f (-x).
1.4	f (x)= 2,	x Î(0, 2π),		f (x) = - f (-x).
1.5	f (x) = π,	x Î (0, 2),		f (x) = f (-x).
1.6	f (x) = π,	x Î(0, 2), f (x) = - f (-x).
1.7	f (x) =1 + 2x,		x Î (0, 2),		f (x) = f (-x).
1.8	f (x) =1 + 2x,		x Î(0, 2),		f (x) = - f (-x).
1.9	f (x) = 2x -1,		x Î(0, 2),		f (x) = f (-x).
1.10	f (x) = 2x -1,		x Î (0, 2),		f (x) = - f (-x).
1.11	f (x) = 2 - x,		x Î (0, 2),		T = 4,	f (x) = f (-x).
1.12	f (x) = 2 - x,		x Î (0, 2),		T = 4,	f (x) = - f (-x).

1.13f (x) = 4x2 , x Î(-1,1), T = 2.

1.14	f (x) = 4 - x2 ,			x Î(- 2, 2),					T = 4.
1.15	f (x) = (x +1)2 ,				x Î(-1, 0),				T = 2,	f (x) = f (-x).
1.16	f (x) = (x -1)2 ,				x Î(0, 2),			T = 4,		f (x) = - f (-x).
1.17	f (x) = x2	- 2x,			x Î(0, 2),			T = 4,		f (x) = - f (-x).
1.18	f (x) = x2	- 2x,			x Î(0, 2),			T = 4,		f (x) = f (-x).
	f (x )= 2cos		x		æ	π		π ö
1.19				,	x Îç-		,		÷, T = π.
			3			2		2
					è				ø

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>