мат.-анализ

x2 + y2 - z 2 = R 2 ,

снизу -

кругом

x2 + y2 £ R 2 ,

z = 0 (рис.

6.1)

на плоскости YOZ и

XOZ

поверхность G

проектируется

дважды с

разных

сторон,

поэтому,

в

силу

симметрии

поверхности

относительно этих

плоскостей òò x2dydz = òò y2dxdz = 0.

G

G

На плоскость XOY сферический сегмент

Z

проектируется в кругу

D

:

x2 + y2 £ 2R2 ,

1

часть поверхности гиперболоидакольцо

D :

R2

£ x2 + y2 £ 2R 2 , а нижним основанием

2

служит лежащий в этой плоскости круг

Рис. 6.1

D :

x2 + y2 £ R 2. Для D

cos g > 0, для D

- < 0,

2

3

1

а для D3

z = 0. Поэтому

òò z 2dxdy = òò(3R2 - x2 - y 2 )dxdy - òò(x2 + y2 - R2 )dxdy.

G

D

D

Переходя

к

полярным

,

получимкоординатам

2p

R

2p

R

2

2

4

7

òò z 2dxdy = ò dj

ò

(3R 2 - r 2 )dr - ò

dj

ò

(r 2 - R2 )rdr = =

pR 4 =

pR 4. ◄

2

G

0

0

0

R

2

6.2.3.

òò xdydz + ydxdz + zdxdy

по

верхней

поверхности

G

G : x + y + z = 0, x ³ 0, y ³ 0,

z ³ 0.

6.2.4.

òò xzdxdy + xydydz + yzdxdz,

где G -

внешняя

сторона

пирамиды,

G

составленной плоскостями x = 0,

y = 0, z = 0,

x + y + z = 1.

6.2.5.

òò x2dydz + y2dxdz + z 2dxdy

по

верхней

повер

G

6.2.6.

òò y 2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz,

где G - внешняя

сторона поверхности,

G

расположенной в первом октанте

и составленной из

параболоида вращения

z = x 2

+ y 2 , цилиндра x2 + y 2 = 1 и координатных плоскостей.

Вычислить ПИ II р:

6.2.7.

òò x2 y 2 zdxdy,

G -

внешняя

сторона

нижней

половин

G

сферы x2 + y2 + z 2 = R 2 .

6.2.8.

òò yzdxdy + xzdydz + xydxdz,

где G -

внешняя

сторона поверхности,

G

расположенной

в первом

октанте

и составленной из

цилиндраx2 + y 2 = R 2

и плоскостей

x = 0, y = 0, z = 0

и z = H.

Ответы:

6.2.3.

a3

.

6.2.6.

p

.

8

2

6.2.4.

1

.

6.2.7.

2

pR7 .

105

8

p a

4

6.8. HR2

æ

2R

pH ö

6.2.5.

.

ç

+

÷.

è

3

8 ø

48

6.3. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса

6.3.1.

Написать

и

проверить

формулу

Гаусса-Остроградского

для

интеграла

òò xdydz + ydxdz + zdxdy,

если

G :

x2 + y 2 + z 2 = R 2 .

G

► Так как P(x, y, z) = x,

Q(x, y, z) = y,

R(x, y, z) = z

по формуле (9)

имеем

P ¢

= Q

¢ = R

¢ =1

и

x

y

z

òò xdydz + ydxdz + zdxdy = òòò3dxdydz = 3VΩ = 4pR3,

¶Ω = G.

G

W

Т. е. мы

получим формулу для вычисления

объёма

через

ПИ II

р

V

=

1

òò

xdydz

+ ydxdz + zdxdy,

G = ¶Ω.

W

3

G

Непосредственное

вычисление

ПИII

р

даёт

также

три

объёма

шара

(см. пример 6.2.1, шар - частный случай эллипсоида

a = b = c = R ). ◄

6.3.2.

Показать

с

помощью

формулы

Стокса, что

ò yzdx + xzdy + xydz

L

по любому замкнутому контуру L равен нулю. Проверить это вычислением

интеграла

по

контуру

DOAB,

O (0, 0, 0),

A(1,1, 0)

и

B (1,1,1).

► Используя

формулу

(10),

получим:

P ¢

= z, P ¢ = y,

Q

x

¢ = z,

Q

¢

= x, R

¢

= y,

R

¢

= x и

y

z

z

x

y

"L

ò

Pdx + Qdy + Rdz =

òò

(Q

¢ - P

¢)dxdy +(R

¢ - Q

¢)dydz +

x

y

y

z

L

G

+ (Pz¢ -R x¢)dxdz = òò0 dxdy + 0 dydz + 0 dxdz = 0.

G

Для

непосредственного

вычисление КИ II р запишем

уравнение

сторон

DOAB. OA :

x

=

y

=

z

;

AB :

x -1

=

y -1

=

z

;

BO :

x

=

y

=

z

или

1

1

1

0

0

0

1

1

1

OA :

x = t, y = t, z = 0, t Î[0,1];

AB : x = 1,

y = 1,

z = t,

t Î[0,1];

BO : x = y = z = t, t Î[1, 0].

1

I = ò yzdx + xzdy + xydz =

ò (

) +

ò (

) + ò(

) =òt ×0dt + t ×0dt + t ×t ×0dt +

L

OA

AB

BO

0

1

0

10 + t 3

1

+ ò1× t × 0 +1× t × 0 + +1×1× dt + òt ×tdt + t × tdt + t × tdt = 0 + t

= 0. ◄

0

1

0

Аудиторные задачи

I.

Применяя формулу Гаусса-Остроградского,

вычислить

интегралы:

6.3.3.

òò x3dydz + y3dxdy + z 3dxdy,

G - внешняя

сторона

поверхности

G

пирамиды, образованной

плоскостями: x + y + z = a,

x = y = z = 0.

6.3.4.

òò yzdxdy + xzdydz + xydxdz,

G - внешняя

сторона

поверхности

G

составленной

из

2

2

= a

2

и

плоскостей:

цилиндраx + y

x = 0,

y = 0,

z = 0,

z = h

и

расположенной

в

первом октанте.

6.3.5.

òò y 2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz,

G - внешняя

сторона

поверхности,

G

составленной

из параболоида

вращенияz = x2 + y2 ,

цилиндра x2 + y 2 = 1

и плоскостей

x = 0,

y = 0,

z = 0

и

расположенной

в первом октанте.

II.

Вычислить

непосредственно

и

используя

формулу

Стокс

следующие интегралы:

6.3.6. ò x2 y3dx + dy + zdz,

L :

x2 + y2 = R2 ,

z = 0,

L

G : z =

R2 - x2 - y2

z ³ 0.

6.3.7.

ò x(z - y)dx + y(x - z)dy + z(y - x)dz,

L :

DABC,

A(a, 0, 0),

L

B (0, a, 0), C (0, 0, a),

G :

x + y + z = a.

6.3.8.

ò(y2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y2 )dz,

L :

x2 + y2 = a2 , z = 0,

L

Задание на дом

6.3.9.

Используя

формулу

Гаусса-Остроградского, вычислить

интеграл

òò

(dydz + dxdz + dxdy),

x2 + y2 + z 2

если G -внешняя

сторона

G

сферы x2 + y2 + z 2 = R2.

6.3.10.

Написать

и

проверить

формулу

Стокса

для : интегр

ò(z - y)dx + (x - z )dy + (y - x)dz,

взятого

по

контуруDABC

с

вершинами

L

A(a, 0, 0), B (0, a, 0) и C (0, 0, a).

Ответы:

6.3.3. 0,15a5.

6.3.5.

p

.

6.3.7.

a3.

æ

2a

ph ö

8

4

3

6.3.4. a2hç

+

÷.

pR

6

6.3.8.

3

a

.

3

8

è

ø

6.3.6.

-

.

8

6.3.9.

0.

Вопросы для самопроверки

1. Что общего между ПИ I р и ДИ,

КИ I р и ОИ,

ПИ I р

КИ I р,

ПИ II

р и КИ II р?

2. Есть ли связь между формулами Грина и Гаусса-Остроградского,

Грина

и

Стокса?

3.

Полагая

в

формуле

Гаусса-Остр

P = U x¢,

Q = U y¢,

R = U z¢,

,

доказать что

òòò(U xx² + U yy² + U zz²)dV = òòU n¢ds

и проверить

эту

формулу для

W

G

U = x2 + y 2 + z 2 ,

G : x2 + y2 + z 2 = a 2.

4.

Используя

формулу

,

Стоксапокзать,

что

ò x2e zy (3dx + xzdy + xydz)= 0

"L.

L

Литература: [ 1. с. 71-82; 2. с.

131-134,

137-141;

3.

с.

244-247;

4. с. 243-246;

5. с. 313-327;

6. с. 47-50 ].

Скалярное поле (СП)

Векторное поле (ВП)

®

U (M ),

M (x, y, z) Î R3

{P(M ), Q(M ), R(M )}, M (x, y, z) Î R3

a (M ) =

(распределения давления в

®

®

(скорости V жидкости или газа, сил F ,

атмосфере, температур в теле)

электрической напряжённости

®

E )

Характеристики СП

Геометрические

Производная по направлению

Градиент

®

Линии

Поверхности

gradU = {U x¢,U y¢,U z¢} (4)

уровня

уровня

¶U

¢

¢

Т:

¶U

®

®

v

= U x

cosa +U y

cos b +

= gradU × l .

¶l

¶l

U (x, y) = C (1) U (x, y, z) = C (2)

+U

¢ cosg ,

®

+ c U

) =

1°. . grad (c U

1

2

z

1

2

®

®

®

(изобары)

(изотермические

l = {cosa, cos b, cosg } (3)

= c1 gradU1 + c2 gradU 2 .

поверхности)

(скорость изменения

®

®

2°. grad (U ×V ) =V gradU +

функции U (M ) в т. M

®

+U gradV .

®

3° .

®

U

®

в направлении l

).

grad

= (V gradU -

V