Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

мат.-анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

		I = ò(x + y)dx - xdy = ò						(x + y)dx - xdy + ò(x + y)dx - xdy =
				L			OB							BA
y								2						4
								2						4
								= ò(x + 0)dx - x × 0 + ò(x + x - 2)dx - xdx =
					A			= ò(x + 0)dx - x × 0 + ò(x + x - 2)dx - xdx =
					A			0						2
2		B
2
									x2		2	x2			4


	0	2	4			x		=			+				= 2 + 8 - 8 - 2 + 4 = 4. ◄
	0	2	4			x		=	2		+	2 -	2x		= 2 + 8 - 8 - 2 + 4 = 4. ◄
		Рис. 1.1				® ®			2		0	2 -			2
		Рис. 1.1									0				2
										®		®		® ®
		2.1.2.	Вычислить			ò a dr,		если			a = z i + x j + y k ,

t Î[0, 1].

OA :

r = t i + t 2

j + t

k ,

► Воспользуемся формулой

случая

т. е.

® ®

a dr = ò zdx + xdy + ydz =ò(z(t )x

y) t

)dt (=)

)+ x t (y )t +(

={ x = t,

y = t 2 ,

z = t 3 ,

dx = dt, dy = 2tdt, dz = 3t 2dt} =

= ò

(t3 + t 2t + t 2

2 )dt = ç

+ 0 +

. ◄

				Аудиторные задачи
2.1.3.	Вычислить		ò(x + y)dx - 2 ydy, если L :				1) прямая АВ,		A(0, 1), B(2, 5);
			L
	È				3) ломаная ACB,			C(0,5).
2) дуга AB параболы y = x2 +1;					3) ломаная ACB,			C(0,5).
			ò xydx + (y - x)dy				È		A(1, 1),
2.1.4.	Вычислить		ò xydx + (y - x)dy			вдоль OA, O (0,0),			A(1, 1),	если
			L
L : 1) y = x; 2) y = x2 ; 3) y2 = x; 4) y = x3.
			® ®	®	®	®	®	È
2.1.5.	Найти	ò a dr,		если a = -yz i + xz j + xy k,				OA: x = a cos t, y = a sin t,

z = ht, t Î[0, 2p ].

2.1.6. Определить ò(2a - y)dx - (a - y)dy, если L : x = a(t - sin t ),

y = a(1 - cos t ), t Î[0, 2p ].

				Задание на дом
2.1.7.	Вычислить	ò(x2 + y2 )dy,			если L -		контур	четырёхугольника
		L
O (0,0), A(2,0), B (4,4) и			С (0, 4).
		® ®			®	®	®	È
2.1.8.	Найти	ò a dr,		если a = y2 i + x2			j , O	(0,0 ,) A 1,(1 , OA) :
		È
		OA
1) отрезок прямой OA;			2) дуга параболы x2 = y;				3) дуга параболы y2 = x;
4) ломаная OBA, B (1,0);				5) ломаная OCA,		C (0, 1).

		Ответы:
2.1.3. 1)				–16;		2)	-	52	;	3) –12.		2.1.4.	1)	1	; 2)			1	;	3)		17		;
2.1.3. 1)				–16;		2)	-		;	3) –12.		2.1.4.	1)		; 2)			2	;	3)	30			;
							3							3				2			30
4)	-	1	.	2.1.5.		2p 2 а2h.				2.1.6.	p a2.		2.1.7.			12	.	2.1.8.		1)			2		;
4)	-		.	2.1.5.		2p 2 а2h.				2.1.6.	p a2.		2.1.7.				.	2.1.8.		1)	3				;
	20													3							3
2)	0,7;			3)	0,7;		4)			1;	5)	1.

2.2. Формула Грина. Условия независимости

КИ II р от пути интегрирования

						Примеры решений
	2.2.1.			Вычислить		КИ IІ		р	ò(x + y + xy)dx + (xy + x - y)dy,	где
									L
L :	x2	+	y 2	=1,	непосредственно и по формуле Грина.
L :	a2	+	b2	=1,	непосредственно и по формуле Грина.
	a2		b2
		► Так			как контур		L -	эллипс, введём замену переменных
		x = a cos t,			y = b sin t,	¢	(t )= -a sin t,		¢
		x = a cos t,			y = b sin t,	x	(t )= -a sin t,		y (t )= bcos t, t Î[0, 2p ] Þ
								2p
Þ I = ò(x + y + xy)dx +(xy + x - y)dy = ò((acos t +bsin t + abcos t sin t)(-asin t)+
		L						0

+ (ab - cos t sin t+ a cos t - bsin t )b cos t )dt =

= ò(-a2 sin t cos t - absin2 t - a2bsin2 t cos t + ab2 cos2 t sin t +abcos2 t - b2 sin t cos t)dt =

= ò(-(a2 + b2 )cos t sin t + ab(cos2 t - sin 2 t )+ a2bsin 2 t cos t +ab2 cos2 t sin t )dt

- (a2 + b2 )sin 2

+ absin

+ a2bsin3

- ab2 cos3

= ç

= 0.

Используя формулу Грина, имеем:

I = ò(x + xy + xy)dx + (x - y + xy)dy = òò((1 + y)- (1 + x))dxdy = òò(y - x)dxdy =

1-x 2

1- x 2

-a

a 2

- x

= ò dx

(y - x)dy = ò dx

ò - 2bx

dx =

1-x

1- x 2

-a

- xy ø

-b

-a

-b

a 2

1 - x2

- x2 ö

2a2b

1 - x2 ö

= a

b ò

= 0. ◄

-a

æ y ö xdy - ydx

2.2.2.

Проверить,

что

f ç

= 0

для

любой

è x ø

æ y ö

дифференцируемой функции

f ç

÷.

è x ø

► Запишем формулу Грина òP dx + Q dy =

òò(Qx - Py )dxdy. Найдём Qx

и Py :

æ 1 Q¢x = çè x

Py¢ = çè-

y öö¢

æ y

ö æ

ö 1

f ç

÷÷ x =

f ¢ç

÷ ç

è x øø

è x

ø è x

y öö¢

y ö

f ç

÷÷

y = -

f ç

è x øø

è x ø

1æ y ö

-2 f ç x ÷;

xè ø

y¢æ y ö x3 f çè x ÷ø;

¢	¢	и ДИ			¢	¢	любой дифференцируемой
т. е. Qx	= Py				òò(Qx - Py )dxdy равен 0 для
					D
	æ y ö
функции	f ç		÷	и	любого	замкнутого контура	L. ◄

	è x ø

	Аудиторные задачи
	I. Используя формулу Грина, вычислить интегралы:
2.2.3.	ò y2dx + (x + y)2 dy, если	L - DABC,	A(a ,0),		B (a, a),		C (0, a).
	L
	ò(x2 - y2 )dx + (x2 + y2 )dy, если L :		y =			,
2.2.4.	ò(x2 - y2 )dx + (x2 + y2 )dy, если L :		y =	R 2 - x2		,	y = 0.
	L
2.2.5.	ò(x + y)2 dx - (x - y)2 dy,	если L : y = sin x,			y = 0, x Î[0,p ].
	L
	II. Проверить, что КИ IІ	р, взятые по замкнутым контурам L, равны 0
независимо от вида подинтегральных функций.
2.2.6. òj(x)dx +y (y)dy.		2.2.7. ò f (xy)(ydx + xdy).
	L		L
2.2.8.	ò(f (x + y)+ f (x - y))dx + ( f (x + y)- f (x - y))dy.
	L

			Задание на дом
2.2.9.	Написать	и	проверить	формулу	Грина	ò(xдля+ y)dx - 2xdy
						L
для контура DOAB,			O (0,0), A(a ,0),	B (0, a).
2.2.10.	Используя		формулу	,Гринавычислить		ò x2 ydx - xy2dy,
						L
если	L : x2 + y 2 = R2.

2.2.11. Доказать, что величина интеграла ò(2xy - y)dx + x2dy								равна площади
							L
области, ограниченной контуром L.
2.2.12. Доказать,				что ò f (x2 + y2 )(xdx + ydy)= 0.
				L
	Ответы:
2.2.3.		2a3	.	2.2.4.	4R3	.	2.2.5. - 4p.	2.2.10. -	p R 4	.
2.2.3.	3		.	2.2.4.	3	.	2.2.5. - 4p.	2.2.10. -		.
	3				3			2
				Вопросы для			самопроверки

1.Как вычислить КИ ІI р с помощью , ОИесли уравнение линии

интегрирования дано в параметрическом виде?

2.Что означает независимость КИІI р от пути интегрирования? Почему

величина		ò ydx + xdy	не	зависит	от	пути	, интегри
		L
если	L - ломаная OBA, A(4, 2), B (2, 0)?
3.	Доказать, что циркуляция ò(yx3 + e y )dx + (xy3 + xe y - 2 y)dy равно 0,
			L
если	L -симметрична		относительно	начала координат.

4.Что называется первообразной от полного дифференциала? Подберите

(x - y)dx + (x + y)dy

U так, чтобы выражение ( ) было полным дифференциалом x2 + y2 n

и найдите первообразную.

5. Доказать, что ò(2xy - y)dx + x2dy = SD , где ¶D = L .

Расчетное задание «Криволинейные интегралы»

Принятые обозначения:

n=N – номер студента по списку группы;

Г– вторая цифра номера группы;

å- сумма двух последних цифр номера группы;

Ф – номер факультета;


l =1+остаток		N + S		; m =1+остаток	N + Γ	;	v =1+остаток	N + Φ	.
l =1+остаток				; m =1+остаток		;	v =1+остаток		.
		5	4				3
			È
I.	Вычислить КИ		ò f (x , y)dl, если AB- дуга кривой L, заключённая
			È
			AB
между	точками А	и	В.

1.	f (x, y)= l yv (1 + (-1)n )+ (x + m)(1 - (-1)n ),						L : x = (m +n )(t - sin t ),
	y = (m +n )(1 - cos t ),				A(0,0),	B (p (m +n ), 2(m +n )).
		x
2.	f (x, y )=			+ (-1 n) m y,	L :	x = (l +1)cos3 t,		y = (l +1)sin3 t,
		n
		(l +1)
			3

A(l + 1,0), Bç3(l + 1)

3 , (l +1)ö÷. 8 8 ÷ø

3.	f (x, y )=	(1 + (-1)n )(n +1)x y			(m + l)y3 - (l +n )y			2 + 2l y - m ,
					(m + l)y3 - (l +n )y
			+ (1 - (-1 n) )
							1 + e2 y
		1 + 4(2l - y)					1 + e2 y
	L :	y = (1 + (-1 n) )(2l - x2 )+				1	(1 - (-1 n) ln x(+ 2v)),
	L :	y = (1 + (-1 n) )(2l - x2 )+					(1 - (-1 n) ln x(+ 2v)),
					2
	A(0,5(1 - (-1)n )m, 0,5(1 + (-1)n )y),			B ((1 + (-1)n )+ 0,5(1 - (-1)n )(e2l - 2n ), y).

f (x, y)= (1 + (-1)n )(2m x4 y + (l -n )x2 y3 + (m +n )y5 )+

+ (1 - (-1 n))

(n 2 x)2 + (m2 y)2

L :

y =

(1 + (-1 n) ) 2n - x2 + (1 - (-1 n) )

(n m ) - n (x

÷),

(1 +

- (-

A(0,5(1 - (-1)n )m, 0,5(1 + (-1)n )y), Bç(1 +

(-1 n) )n

(-1 ) )y

1 ) )n

÷.

f (x, y)= (m +n )x - (-1)n (l - 2)y,

L :

r = (l(1 + (-1 n) cosj))

1 + (-1)n

+ m(cosj - (-1 )nsinj)

1 - (-1)n

A(0, y), B (x , 0).

II.

Вычислить

КИ òP (x, y)dx + Q (x, y)dy :

P(x, y)= (1 + (-1)n )(l x + (-1)n m y)+ (1 - (-1)n )vx2 y,

Q(x, y)= (1 + (-1)n (v +1)x(-1)n + (l + m)y)+ (1 - (-1)n )vxy2 ,

если

L :

x = l cos t, y = l sin t,

t Î[0, 2p ].

P(x, y)= 3vx(l x + (-1)n m x),

Q(x, y)= l (m +1)y(vx - (-1)n 2 y),

если

A(0,

(-1)n l),

B (x, m l).

L - дуга AB параболы x = (-1)n l y - y 2 ,

P(x, y)= (2l + v)x + (-1)n 3m y,

Q(x, y)= 4vy + (-1)n l, если

L -

ломаная

ABC,

A((-1 n)l , 0), Bçæ(1 + (-1 n) )

, (1 - (-1 n)v)÷ö,

C((-1 n) l( + 2m), 3v).

P(x, y)= (-1)n (2m + v + y),

Q(x, y)= (v +1)x,

если

L : x = l (t - sin t ),

y = l (1 - cos t ),

t Î[0, 2p ].

P (x, y

vx + y + m

Q (x, y )=

2vx + (-1)n y

если

L -

отрезок

(x + y)2

прямой

АВ,

A((-1)n v, 2m),

B (m + 2,3(l + v)).

III.

помощью формулы

Грина вычислить

циркуляцию

òP (x, y)dx + Q (x, y)dy :

P(x, y )=

(l + v)y + 4m3 x ln x

- 2m x ln y

Q(x, y )=

(l +1)xy2 + m x2 ln y

- 2m x

2 ln x

L : DABC,

A(l -1,

m + v), B (l + m, 2v + l),

C (2l + m, 3m + v).

P(x, y )=

(2v + m)xex 2 + y 2 + (-1 n)l x

Q(x, y )= 2(v + m)yex 2 + y 2 - (-1 n)e x 2 ,

L :

ABCE,

A(0,l),

B (0, 2l),

C (v, 2l),

E (v, l).

P(x, y)= l y2 cos (xy2 )- (-1)n (m + v)x2 y,

Q(x, y)= 2l xy cos (xy2 )+ (-1)n (m + v)y2 x,

L :

x2 + y 2 + (-1)n 2(l + m)x = 0.

P(x, y )= m x2 + x

+ (-1 n)vy2 ,

l2 - x2 + y2

Q(x, y =) l xy - y

x2 + y2 = (-1)n 2vy.

l2 - x2 + y2

L :

P(x, y )=

2m xy

+ (-1 n) v(+1)x2 y,

Q(x, y )=

m x2

- (-1 n) vx,

x2 y + l

L :

y = (-1)n x2 ,

x = y2 .

Самостоятельная работа «Криволинейные интегралы»

І.

Вычислить:

а)

ò xdl,

если L - отрезок прямой, соединяющей точки A(0,0) и

B (1, 2).

б)

ò(x + y)dx + (x - y)dy,

если

LAB -

дуга параболы

y = x2 ,

лежащая

LAB

между

точками

A(-1, 1)

B (1, 1).

ІІ.

Вычислить:

а)

ò x

ydl,

если L -

часть

+ y

= 9

лежащая

окружностиx

первом квадранте;

б)

ò(x - y)dx + (x + y)dy,

если LAB -

отрезок

прямой, соединяющий

LAB

точки

A(2, 3) и

B (3, 5).

ІІІ.

Вычислить:

а)

если L -

отрезок

прямойy = x + 2,

соединяющий

x + y

точки

A(2, 4),

B (1, 3);

б)

ò(y + x2 )dx + (2x - y)dy,

если LAB -

дуга

параболыy = 2x - x2 ,

LAB

расположенная

между точками

A(1, 1)

B (3, - 3).

3. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ (ЧР)

ЧР: åU n

n=1

1.Знакоположительные

2. Знакочередующиеся

3. Знакопеременные

ЧР

åU n , U n > 0 "n Î N

å(-1)n+1U n , U n > 0 "n Î N

åU n , U n > 0 "n Î N

n=1

Sn = åU k ,

S = lim Sn = A ¹ ¥

Ú $/

® ЧР

сходится

k =1

n®¥

S - сумма ряда; å

- сход. при | q |<1,

- сход. при p > 1

n =1q n

n =1n p

Свойства ЧР:

1°.

lim

= S «

lim Sn -k = S - Sk ,

Sk = åUi .

n®¥

i =1

2°. S = åU n ,

d = åV n,

Wn = aU n + bVn

® $ åWn = aS + bd.

n=1

n =1

Необходимый признак сходимости:

lim U n = 0

n®¥

Достаточные признаки сходимости

Признаки сравнения

Признак Д’ Аламбера

Признаки Коши

Сравнения

Предельный

Радикальный

Интегральный

		$ lim	U n +1	= l

		n®¥ U n
$N : 0 £ U n £ Vn $ lim	U n	= A ¹ 0 (¥)		$ lim n		= l
					U n

n ®¥ Vn				n ®¥
"n N	åU n , åVn - сход.
64444744448			64748
åVn - cx. åU n - pacx.	( расх. ) одновре -			l <1 l >1

менно

I = ò

f (x)dx, U n = f (n)

64474448

I - cx. I - pacx.

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>