Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

мат.-анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

	f (x )= -2sin		x		æ		π		π ö
1.20				,	x Îç	-		,		÷, T = π.
			3				2		2
					è					ø
	f (x )= 2sin	2x			æ		π		π ö
1.21				,	x Îç	-		,		÷, T = π.
		3					2		2
					è					ø

1.22 f (x )= cos	3x	æ		π		π ö		π
		, x Îç	-		,		÷, T =		.
	5			6		6		3
		è					ø

	f (x )= sin	3x									æ			π							π ö									π
1.23							, x Îç-											,							÷, T =									.
1.23		5					, x Îç-								6			,		6					÷, T =						3			.
		5									è				6					6					ø						3
	f (x )= -sin				3x						æ						π								π ö								2π
1.24									,		x Îç		-									,						÷, T =											.
1.24					7				,		x Îç		-					3				,						÷, T =							3				.
					7						è							3							3 ø										3
	f (x )= cos		3x								æ					π						π				ö						π
1.25								,		x Îç		-							,								÷, T =								.
1.25				7				,		x Îç		-			4				,			4					÷, T =				2				.
				7							è				4							4				ø					2
	f (x )= -cos					2x						æ								π							π ö									π
1.26										,	x Îç				-										,				÷, T		=							.
1.26							3			,	x Îç				-					4					,				÷, T		=				2			.
							3					è								4						4 ø									2
	f (x )= cos		3x								æ					π						π				ö						2π
1.27								,		x Îç		-							,								÷, T =										.
1.27				2				,		x Îç		-			3				,			3					÷, T =						3				.
				2							è				3							3				ø							3
	f (x )= -cos					3x						æ							π							π ö										π
1.28										,	x Îç				-									,					÷, T		=						.
1.28							8			,	x Îç				-				6					,					÷, T		=				3		.
							8					è							6							6 ø									3
	f (x )= cos		2x								æ					π							π			ö						π
1.29								,		x Îç		-								,							÷, T =									.
1.29				3				,		x Îç		-			4					,		4					÷, T =				2					.
				3							è				4							4				ø					2
	f (x )= -cos					4x						æ								π							π ö									π
1.30										,	x Îç				-										,				÷, T		=							.
1.30							5			,	x Îç				-					8					,				÷, T		=				4			.
							5					è								8						8 ø									4

2.Доопределяя заданным образом до периодической, разложить в ряд

Фурье функцию f (x) .

2.1	ì (x - 3)2 ,	x Î(2,3),	f (x) = - f (-x).
	f (x )= í	, x Î(3, 4 ,)
	î- (x - 3)2
2.2	ì (x - 3)2 ,	x Î(2,3),	f (x) = f (-x).
	f (x )= í	, x Î(3,4 ,)
	î- (x - 3)2

	ì 2x -10, x Î(5,6),
2.3	f (x )= íï 2,		x Î(6, 7 ,)			f (x) = - f (-x).
	ï	16	- 2x, x Î(7,8 ,)
	î	16	- 2x, x Î(7,8 ,)
	ì 2x -10, x Î(5,6),
2.4	f (x )= íï 2,		x Î(6, 7 ,)			f (x) = f (-x).
	ï	16	- 2x, x Î(7,8 ,)
	î	16	- 2x, x Î(7,8 ,)
2.5	f (x )= íì	7 - 2x, x Î(2,3),				f (x) = - f (-x).
	î	1,	x Î(3,5 ,)
2.6	f (x )= íì	7 - 2x, x Î(2,3),				f (x) = f (-x).
	î 1,		x Î(3,5 ,)
2.7.	f (x )= íì x - 7, x Î(7,9),				f (x) = - f (-x).
	î 1,		x Î(9, 10),
2.8	f (x )= íì x - 7, x Î(7,9),				f (x) = f (-x).
	î 1,		x Î(9, 10),
2.9	f (x )= íì	12 - x, x Î(10,11),				f (x) = - f (-x).
	î x -10, x Î(11,12),
2.10	f (x )= íì	12 - x, x Î(10,11),				f (x) = f (-x).
	î x -10, x Î(11,12),
2.11	f (x )= íì x,		x Î (0, 2),	f (x) = - f (-x).
	î 2,		x Î(2, 4 ,)
2.12	f (x )= íì x,		x Î (0, 2),	f (x) = f (-x).
	î 2,		x Î(2, 4 ,)
2.13	f (x )= íì 3,		x Î(0,1),			f (x) = - f (-x).
	î 6 - 3x, x Î(1, 2 ,)
2.14	f (x )= íì 3,		x Î(0,1),			f (x) = f (-x).
	î 6 - 3x, x Î(1, 2 ,)
2.15	f (x )= íì 4,		x Î(3,5),	f (x) = - f (-x).
	î 2,		x Î(5,7 ,)

2.16	f (x )= íì	4,		x Î(3,5),	f (x) = f (-x).
	î 2,			x Î(5,7 ,)
2.17	f (x )= íì - 3,			x Î (0,1),			f (x) = - f (-x).
	î 3x - 6, x Î(1, 2 ,)
2.18	f (x )= íì - 3,			x Î (0,1),			f (x) = f (-x).
	î 3x - 6, x Î(1, 2 ,)
2.19	f (x )= íì - x,			x Î(0, 2),		f (x) = - f (-x).
	î - 2, x Î(2,4 ,)
2.20	f (x )= íì - x,			x Î(0, 2),		f (x) = f (-x).
	î - 2, x Î(2,4 ,)
2.21	f (x )= íì	2x - 7, x Î(2, 3),					f (x) = - f (-x).
	î -1, x Î(3,5 ,)
2.22	f (x )= íì	2x - 7, x Î(2, 3),					f (x) = f (-x).
	î -1, x Î(3,5 ,)
2.23	f (x )= íì 7 - x, x Î(7,9),						f (x) = - f (-x).
	î -1,			x Î(9,10),
2.24	f (x )= íì 7 - x, x Î(7,9),						f (x) = f (-x).
	î -1,			x Î(9,10),
2.25	f (x )= íì x -12, x Î(10,11),						f (x) = - f (-x).
	î 10 - x, x Î(11,12),
2.26	f (x )= íì x -12, x Î(10,11),						f (x) = f (-x).
	î 10 - x, x Î(11,12),
2.27	f (x )= íì 1,		x Î(3,5),		f (x) = - f (-x).
	î 2,		x Î(5, 6 ,)
2.28	f (x )= íì 1,		x Î(3,5),		f (x) = f (-x).
	î 2,		x Î(5, 6 ,)
2.29	f (x )= íì - 3,			x Î (2,3),		f (x) = - f (-x).
	î 1,			x Î(3,4 ,)

2.30

f (x )= íì - 3,

x Î (2,3),

f (x) = f (-x).

î 1,

x Î(3,4 ,)

В заключении рассмотрим решение типового билета.

1.31. Разложить

ряд

Фурье с периодом T =

функцию

f (x )= 3cos

π ö

на

интервале x Î

÷.

6 ø

► Заданная функция – четная, поэтому можно применить формулу (5)

12 6

dx =

3cos

sin

=84 sin π

π14

ç sinç

6n +

÷x

sinç

6n -

÷x

6 3cos

cos(6nx dx) =

π 0ò

π ç

6n -

ø0

(-1 n) sin

sinç

+ nπ ÷

sin

çnπ

14 ø

=18π

6n +

6n -

6n +

6n -

Искомый

ряд

запишется

виде:

öö

f (x )=

÷÷

6sin

ç14 + 3å(-1 n)ç

÷÷

n =1

6n +

6n -

3 ÷÷

÷÷

7 øø

(-1 n)+1 ÷

12sin

7 +

÷.

◄

14 ç

n =136n

9 ÷

49 ø

2.31. Доопределяя

заданным

образом

f (x )= íì- 2,

x Î(1,3),

î 1,

x Î(3, 4 ,)

f (x) = - f (-x), разложить ее в ряд Фурье.

► Для разложения функции в ряд Фурье по синусам воспользуемся

формулой

		2	æ	3
b	=		ç	ò	-

n		3	ç
			è1

(6) (l=3)

æ nππ ö			4	æ nππ ö			ö

2sinç		÷dx + ò1× sinç				÷dx	÷	=
	3				3		÷
è		ø	3	è		ø	ø

2	æ	1	6cos	nππ ö		3	1	3cos	πnx	4

	ç				÷	-				=

3	è nπ			3	ø	1	πn		3	3

cos

nπ

4nπ

ç cos nπ

= 4

2ç

cos

cos nπ ÷

nπ

è nπ

nπ

= 4 (-1 n)

- 4

cos

(-1 ) cos

+ 2 (-1 n)

= 2 (-1)n

- 2cos

nπ

2 - (-1)n

- 2

nπ

Тогда

f (x )=

å¥ çæ(-1 n) - 2cos

nπ

(2 - (-1 n))÷ö

sin

npx

◄

π n =1è

ø n

Литература: [1. с. 60 – 70; 2. с. 247 – 251; 3. с. 261 – 264; 4. с. 277 – 280; 5. с. 389 – 382; 5. с. 93 – 101].

6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ПИ)

Поверхности в R3

®	2$ (x, y, z) ÎG Ì R3	®	{F , F , F }: D ® G
G = F (D )- поверхность Þ "(x, y) Î D Ì R	2$ (x, y, z) ÎG Ì R3	, F =	{F , F , F }: D ® G
			1	2	3
		®
G - образ D при непрерывном отображении F .
параметрические уравнения	векторно-параметрическое уравнение
		®	®
G : x = F1(u, v), y = F2 (u, v), z = F3 (u, v)		G : r = F (u, v)

явное уравнение				неявное уравнение					Z
G : z = f (x, y)				G : F (x, y, z )= 0					Z
f (x, y) - непрерывно-				F (x, y, z) - непрерывно-					Y
дифференцируема				дифференцируема					X
"(x, y) Î D				"(x, y, z) ÎG					X
"(x, y) Î D				"(x, y, z) ÎG					M Î L Ì G, L Ç ¶G = 0
						®
	(F ¢)2 + (F	¢)2	+ (F	¢)2 ¹ 0			n (M ) = {cosa(M ), cos b(M ), cosg (M )}
	(F ¢)2 + (F	¢)2	+ (F	¢)2 ¹ 0
	x	y	z
1444444444244444444443
						G - двусторонняя (ориентируемая)
	G - гладкая поверхность					Þ "M Î G, "L Ì G после обхода L
						направление n (M ) совпадает с исходным

						ПИ


	ПИ I р: òò f (M )ds							ПИ II р: òòPdydz + Qdxdz + Rdxdy
	G								G
					)
(по площади поверхности					)				(по координатам)
mG = òòr(M )ds - масса поверхности G
	G

(физический смысл ПИ I р)

Вычисление ПИ

I = òò f (x, y, z)ds =				I = òò Pdydz + Qdxdz + Rdxdy =
G				G
= òò f (x, y, z(x, y))		1 + (zx¢)2 + (z y¢)2	dS (1)	= ± òò P(x( y, z), y, z)dydz ±
D				Dyz
G : z = f (x, y),	D = пр XOY G			± òòQ(x, y(x, z), z)dxdz ±
				Dxz
				± òòR(x, y, z(x, y))dxdy (2)
				Dxy
		Dyz = пр XOZ G,		Dxz = пр XOZ G, Dxy = пр XOY G,

"+" - cosa, cos b, cos g > 0, "-" - cosa, cos b,cosg < 0.

Формула ГауссаОстроградского

Т: P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) -

непрерывны с Px¢, Qy¢, Rz¢		òòò(Px¢,Qy¢, Rz¢)dxdydz =
		W
"(x, y, z) ÎΩ, ¶Ω = G		= òò Pdydz + Qdxdz + Rdxdy (9)
		G

		Формула Стокса

Т: P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) -

непрерывны с Py¢, Pz¢,Qx¢,¢

ò Pdx + Qdy + Rdz = òò(Qx¢ - Py¢)dxdy +

, R

"(x, y, z) ÎG, ¶G = L

+ (R

- Q

¢)dydz + (P ¢

- R

¢)dxdz (10)

6.1. ПИ I р, их вычисление и приложения

6.1.1.

Вычислить

ПИ I

òò x2 yzds ,

если G -

часть

плоскости

x + y + z = 1,

лежащая

первом

октанте.

► Воспользуемся

формулой

(1)

перехода от

ПИ

I р к

ДИ:

òò x2 yzds = òò x2 y(1 - x - y)

dxdy) .

1 + (-1 2) + -(1 2

Мы подставили вместо

z выражение

(1 - x - y) (из уравнения плоскости),

z x¢ = -1,

z y¢ = -1.

Область

D -

проекция

на

плоскость

XOY : x + y = 1.

Имеем

1-x

æ y2 (1 - x)

y3 ö

1-x

(1 - x)3

I = 3ò x2dx ò y(1 - x - y)dy = 3ò x

2 ç

dx =

3ò x2

3 ÷

- x)3 ö

æ x3

3x4

3x5

x6 ö

÷dx =

ò x2 (1 - x)3 dx =

6 ÷

1 ö

. ◄

÷ =

360

6 è

6 ø

6.1.2. Определить

суммарный электрический

заряд, распределённый

на

части

поверхности

параболоида2az = x2 + y 2 ,

вырезаемой

из

него

цилиндром

x2 + y2 = a2 ,

есть

плотность заряда

в каждой

точке

равна

e = k

k > 0.

► Суммарный электрический заряд в данном случае

равен

заряду

боковой поверхности G :

E = òòk

zds. Уравнение поверхности параболоида

x2 + y2

a2 + x2 + y2

z =

zx¢ =

z y¢ =

1 + (zx¢)2 + (z y¢)2

Имеем:

E = k òò

+ y2

a2 + x2 + y

dxdy ,

где D -

круг

радиуса a : x2 + y 2 £ a2.

Переходя

полярным

координатам,

получаем:

ìr = a tg t

E =

òòr 2

+ r 2 drdj =

ò djòr 2

+ r 2 dr = í

a 2a

ïdr =

cos

ìr = atg t

= í

ïdr =

cos

2 t

a2tg 2ta2

2 t

dt =

ka 2

sin

dt =

ò dj ò

2p ò

cos3 t

cos5 t

a 2a

5					p		2		5
			4								(3		- ln(1 +		)). ◄
	ka	2				sin		t	d sin t =	p ka 2
=				2p ò								2		2
						(1 - sin 2 t )3
2			0						4

Аудиторные задачи

I. Вычислить ПИ I р:

6.1.3. òò

z + 2x + 4 y

ds ,

G :

=1,

x ³ 0,

y ³ 0,

z ³ 0.

6.1.4. òò

ds ,

x2 + y2 = z 2 ,

z Î[0,1 .]

x2 + y2

G :

6.1.5. òò x2 y2ds ,

G :

z =

R2 - x2 - y 2

5.1.6. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

Задание на дом

6.1.7. Вычислить

òò(x2 + y2 + z 2 )ds ,

G : x2 + y2 + z 2 =1.

6.1.8.

Определить

массу,

распределённую

на

части

поверхности

G :

2 a z = x2 - y2 ,

вырезаемой G

+ y2 = a2 , если r = k | z |,

k > 0.

Ответы:

6.1.3.

6.1.7. 4p.

61.

6.1.5.

2pR

6.1.8.

ka3 (

+ 1).

6.1.4.

6.1.6.

8pR

6.2. ПИ II

р,

их вычисление

6.2.1.

Вычислить

òò xdydz + ydxdz + zdxdy, если G -

внешняя

сторона

эллипсоида

z 2

в первом октанте.

►

Так

как

первом

октанте

внешня

эллипсоида

со

всеми

осями

координат

образует

острые,

тоуглы

в формуле

(2)

перед

ДИ

берём

знак «+»:

I =

òò xdydz + òò

ydxdz + òò

zdxdy = 3×

V =

pabc

D yz

Dxz

Dxy

çV =

pabc

- объём

эллипсоида,

каждый

из

интегралов

по

è3

Dyz ,	Dxz , Dxy		определяет объём одной восьмой части эллипсоида). ◄
	6.2.2.		Вычислить				òò x2dydz - y2dxdz + z 2dxdy,				если
							G
					z =
G :	x2 + y2 + z2 = 3R2 ,			z = 0,		x2 + y2 - R2		(внешняя сторона).
	►	Заданная		поверхность			ограничена		сверху	сегментом	сфер
x2 + y 2 + z 2 = 3R 2 ,				с	боков-		частью	поверхности		гиперболоида

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>