мат.-анализ
.pdf
|
|
® |
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.24. |
gradU = ?, |
| gradU |= ?, U = 4 + x2 + y2 , M 0 (2,1). |
|||||||||
|
æ |
® Ù ® |
ö |
x2 |
|
x3 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||||
2.25. |
çgradU , gradV ÷ = ? U = |
|
|
V = |
|
+ 6 y3 + 3 6z3 , |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
ç |
|
÷ |
yz 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
è |
|
øM 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
æ |
|
|
1 |
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M 0 ç 2, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
æ ¶U ö |
= ? U = 2x2 + xy + y2 , |
|
|
® |
|
® |
|
|
® |
|||||||||||||||||
2.26. |
M 0 (2, 2), |
|
l = i - 3 |
j . |
|||||||||||||||||||||||
ç |
|
r |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
è |
|
¶l øM 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
® |
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
æ |
p ö |
|
|
|
|
|||
|
gradU = ?, | gradU |= ?, U = x2 y 2 z + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.27. |
|
sinç xy |
|
|
÷, |
M 0 (1,1, 2). |
|||||||||||||||||||||
p |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 ø |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
® |
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
= ? U = 2x3 y + 2 |
|
x2 - y2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.28. ç |
|
|
÷ |
|
|
M 0 (2,1), |
|
l = 3 i + 4 |
j . |
||||||||||||||||||
¶l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
è |
øM 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
® |
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.29. |
gradU = ?, | gradU |= ?, |
U = z sin y - x cos y, |
|
M 0 (0, 0, 0). |
|||||||||||||||||||||||
¶U
2.30. r
¶l
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
= ? U = x3 z + 3x2 + 6xy + y2 - z 2 , M 0 (3, -1,1), M 0M ,
M 0
M1(5, 1, 2).
|
® |
|
® |
|
® |
® |
|
® |
div a = ?, a = x2 yz i + xy2 z j + xyz |
2 |
k . |
||||||
® ® |
|
® |
|
® |
® ® |
|
|
|
rot a = ? |
a = xy i + x2 |
j - xz k . |
|
|
||||
® |
® |
|
|
|
® |
® |
|
® |
div a = ? |
a = |
(y2 + z 2 )i + (x2 + z 2 ) j + (y2 |
+ x2 )k . |
|||||
® ® |
|
|
® |
® |
|
|
|
|
rot a = ? |
|
|
a = grad(yx2 + y2 + z 2 x). |
|
||||
|
® |
|
|
® |
® |
|
|
|
div a = ? |
a = grad (x2 + y2 + z 2 ). |
|
||||||
® |
® |
® |
® |
® |
3.6.Ñ´ a = ? a = (x + z) i + ( y + z) j+ (x2 + z) k .
3.7. |
® |
Ñ ´ a = ? |
|
3.8. |
® |
Ñ´ a |
® ® ® ®
a = x i + y j + z k .
® |
}. |
= ? a = {z3 , y3, x3 |
101
3.9. |
® |
® |
Ñ´ a = ? |
a = {xy, yz, xz}. |
®
3.10.Ñ´ a = ?
3.11.Найти векторные
3.12.Найти векторные
® |
2 , z 2 + x2 }. |
a = {x2 + y2 , y2 + z |
|
® ® |
® |
линии ВП a = 4 y i - 9x j .
®® ®
линии ВП a = 9z j - 4 y k .
3.13. Найти векторные линии ВП |
® |
® |
|
|
® |
|
||||||||||
a = x i + 3z k . |
|
|||||||||||||||
3.14. |
® |
|
|
® |
|
|
|
- 5xyz, ln z }. |
|
|
||||||
div a = ? |
|
a = {6 y2 , |
|
|
||||||||||||
3.15. |
® ® |
|
|
® |
{xy, xz, yx}. |
|
|
|
|
|
|
|||||
rot a = ? |
a = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.16. |
® ® |
|
|
® |
|
|
|
|
-y x }. |
|
|
|
|
|
||
rot a = ? |
|
|
a = {e x , xez , |
|
|
|
|
|
||||||||
3.17. |
® |
|
|
® |
|
|
|
- y z , y2 x }. |
|
|
|
|
||||
Ñ´ a = ? |
|
|
a = {xyez , |
|
|
|
|
|||||||||
3.18. |
® |
|
® |
{3x2 , - 2x2 y, 1- 2x }. |
|
|
||||||||||
Ñ´ a = ? |
|
a = |
|
|
||||||||||||
3.19. |
® |
|
|
® |
|
|
|
|
xy + y 2 , xz + z }. |
|||||||
Ñ´ a = ? |
|
|
a = {y2 + z 2 , |
|||||||||||||
3.20. |
® ® |
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
rot a = ? |
a = {xz, z, y }. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
® |
|
|
® |
ì |
|
|
|
y |
|
|
|
|
ü |
||
3.21. |
Ñ ´ a = ? |
|
a = í ln(x2 + y2 ), |
|
|
, - x2 |
ý. |
|||||||||
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|||
3.22. |
® |
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
z x }. |
|
|||
Ñ´ a = ? |
|
|
a = {sin xz, - x tg y, |
|
||||||||||||
3.23. Найти векторные линии ВП |
® |
|
|
|
- 4x }. |
|
||||||||||
a = {5 y, |
|
|||||||||||||||
3.24. |
® ® |
® |
|
|
|
|
xy + x2 , - y2 z - x2 }. |
|||||||||
rot a = ? |
a = {xz + y2 , |
|||||||||||||||
|
® |
|
® |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
x |
ü |
|
||
|
|
|
x2 + y2 , ln yz, |
|
|
|||||||||||
3.25. |
div a = ? |
|
a = |
í |
|
- |
|
|
ý. |
|
||||||
|
|
z |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
||
3.26. |
® |
|
|
® |
|
|
|
- e yz , 3x2 - z }. |
|
|||||||
div a = ? |
a = {(xy) z , |
|
||||||||||||||
102
3.27. |
® ® |
rot a = ? |
®
3.28.Ñ´ a = ?
|
æ |
®ö |
|
|
3.29. |
ç |
|
÷ |
= ? |
çdiv a |
÷ |
|||
|
è |
|
øM 0 |
|
® |
|
- xy2 z, |
xyz 2 }. |
|
|
|
|||
a = {x2 yz, |
|
|
|
||||||
® |
{arcsin 3x, - e xy , |
ln( z - x) }. |
|||||||
a = |
|||||||||
® |
ì y - x2 |
|
|
1 |
ü, |
|
|
|
|
a = |
, z - y, x |
+ |
M |
0 |
(1, 0,1). |
||||
|
|||||||||
|
í |
|
|
|
ý |
|
|
||
|
î |
|
|
z þ |
|
|
|
||
3.30. |
® |
® |
® |
® |
® |
Ñ ´ a = ? |
a = z3 |
i + y3 |
j - x3 |
k . |
103
Библиографический список
1.Кондратьев, В. В. Высшая математика: конспект лекций: в 3 ч. Ч. III
/В. В. Кондратьев – Казань: КГТУ, 1998. – 120с.
2. |
Ефимов, А. В. |
Сборник задач по математике для . втузов |
Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: учебное пособие для |
||
втузов / |
под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. - 368с. |
|
3. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для втузов / А. В. Минорский. - М.: Наука, 1987. - 352 с.
4. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа
/Г. Н. Берман. - М.: Наука, 1985. - 384с.
5.Запорожец, Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г. И. Запорожец. - М.: Высш. школа, 1966. - 460с.
6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - М.: Высш. школа, 1980. - 365с.
104
|
Оглавление |
|
Список используемых обозначений |
2 |
|
Введение |
4 |
|
1. |
Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода) (КИ I р) |
5 |
1.1. Вычисление КИ I р |
6 |
|
Вопросы для самопроверки |
8 |
|
2. |
Криволинейные интегралы по координатам (II рода) (КИ II р) |
9 |
2.1. Вычисление КИ II р |
10 |
|
2.2. Формула Грина. Условия независимости КИ II р от пути |
|
|
интегрирования |
13 |
|
Вопросы для самопроверки |
15 |
|
Расчётное задание «Криволинейные интегралы» |
16 |
|
Самостоятельная работа «Криволинейные интегралы» |
19 |
|
3. Числовые ряды (ЧР) |
20 |
|
3.1. Знакоположительные ЧР. Признаки сходимости |
21 |
|
3.2. Знакочередующиеся ЧР. Признак Лейбница |
26 |
|
3.3. Знакопеременные ЧР. Их абсолютная и условная сходимости |
28 |
|
Вопросы для самопроверки |
29 |
|
4. |
Степенные ряды (СР) |
31 |
4.1.Функциональный и степенной ряд. Радиус и интервал сходимости СП 33
4.2.Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных
функций |
в ряд |
Маклорена |
36 |
Вопросы для самопроверки |
40 |
||
Расчётное задание «Числовые и степенные ряды» |
41 |
||
Контрольная работа «Числовые и степенные ряды» |
43 |
||
5. |
Ряды |
Фурье |
49 |
5.1. Коэффициенты Фурье. Ряд функций с периодом 2p |
51 |
||
5.2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций |
53 |
||
5.3. Ряд Фурье для функций с периодом 2 l . Разложение в ряд Фурье |
|
||
непериодических функций |
55 |
||
105
Вопросы для самопроверки |
58 |
|
Самостоятельная работа «Ряды Фурье» |
60 |
|
6. |
Поверхностные интегралы (ПИ) |
66 |
6.1. Поверхностные интегралы I рода (ПИ I р), их вычисление |
|
|
и приложения |
68 |
|
6.2. Поверхностные интегралы II рода (ПИ II р), их вычисление |
70 |
|
6.3. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса |
73 |
|
Вопросы для самопроверки |
75 |
|
7. |
Элементы теории поля (ТП) |
76 |
7.1. Скалярное поле (СП) и его характеристики (производная |
по направлению |
и градиент) |
78 |
7.2.Векторное поле (ВП), его геометрические характеристики. Поток
и дивергенция ВП |
83 |
7.3. Циркуляция и ротор ВП. Простейшие ВП |
90 |
Вопросы для самопроверки |
96 |
Самостоятельная работа «Теория поля» |
97 |
Библиографический список |
104 |
Оглавление |
105 |
Греческий алфавит |
107 |
106
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
A, a - альфа |
N, n -ню |
B, b -бэта |
X, x - кси |
G, g -гамма |
O, o - омикрон |
D, d -дельта |
P, p -пи |
E, e -эпсилон |
R, r -ро |
Z, V -дзэта |
S, s , z -сигма |
H, h -эта |
T, t -тау |
Q, J - тэта |
F, j -фи |
I, i -йота |
C, c -хи |
L, l -ламбда |
Y, y -пси |
M, m - мю |
W, w -омега |
107