мат.-анализ

Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Построить поверхности уровня СП U =

(4z + z 2 ).

Построить линии уровня СП U =

y 2 + 2 y +1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

= òcos 2te0,5sin 2t dt = òe0,5sin 2t d (0,5sin 2t) = e0,5sin 2t

2 = 0.

Искомая

циркуляция ВП

СL = 0. ◄

7.3.2. Твёрдое тело вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг

оси OZ. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности

радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, плоскость окружности

перпендикулярна оси вращения, в направлении вращения.

► Будем считать твёрдое тело достаточно большим, чтобы указанная

окружность радиуса R

помещалась целиком

внутри(иначе поле

скоростей

будет

задано

не

во

всех

точках

).окружностиМожно считать,

что

окружность L

расположена

плоскостиXOY ,

т.

е.

её

уравнение

x2 + y2 = R 2.

По

определению

циркуляцияCL

равна

® ®

CL = ò a ×d r = òPdx + Qdy + Rdz.

нашем

случаеa (x, y) = w ´ r ,

где

w = w × k - вектор угловой скорости,

r - радиус-вектор т. M (x, y) :

r = x i + y j

® ®

Тогда

циркуля

a = w ´ r

= -w y i + w x j .

®®

CL = ò(-w ydx + w xdy). Считаем, что w k, следовательно, окружность

обходится в положительном направлении. Параметрические уравнения

окружности x = R cos t, y = R sin t,	t Î[0,2p ],	dx = -R sin tdt, dy = R costdt.
Имеем:
2p		2p
CL = ò(w R2 sin 2 t + wR 2 cos2 t )dt = w R 2		òdt = 2pw R2. ◄
0		0

7.3.3.

Найти

циркуляцию

® ® ®

по

контуру

ВПa(M ) = y i + z j+ x k

L : x2 + y2 + z 2 = R2 ,

x + y + z = 0,

используя

формулу

Стокса.

►

Контур L

данном

примере

представляет

собой

окружность

радиуса R. Будем считать, что обход её совершается против часовой стрелки,

если

смотреть

положительной

стороныOX. осиВычислим

® ®

rot a (M ) =

= - i - j - k . В качестве поверхности G,

натянутой на

¶x

¶y

¶z

контур

возьмём

круг, имеющий

своей

границей и

лежащий

плоскости

x + y + z = 0.

Согласно выбранной

ориентации

контура

нормаль

необходимо

выбрать

следующим

бразом

® ®

® ® ®

i + j + k

n = -z x¢

i - z y¢

j + k = i +

j + k ,

n0 =

Согласно

формуле

Стокса (12),

искомая

циркуляция

равна

® ®	® ® ®
CL = ò a ×dr = òòrot a× n0 ds =
L	G

1	æ	-
	ç

3	òòç
	G è

®	®	® öæ	®	® ® ö
i	- j	- k ÷ç i		+ j + k ÷ds =
		÷ç		÷
		øè		ø

= -33òòds = -pR2 3,

так	как	òòds = Sкруга =pR 2. ◄
		G
	7.3.4.	Проверить, что	плоское	®	®			®	соленоидально,
	7.3.4.	Проверить, что	плоское	ВПa = -y i + x j					соленоидально,
и показать,		что его векторные линии замкнуты.
		®		®
	► div a = (-y) x¢ + (x) y¢ = 0		Þ поле a-		соленоидальное. Составим
дифференциальное уравнения векторных линий:					dx	=	dy	Þ	xdx + ydy = 0
дифференциальное уравнения векторных линий:						=		Þ	xdx + ydy = 0
					- y x
Þ	x2 + y2 = c2 - окружности (замкнутые линии). ◄

7.3.5. Показать,

что

ВП a = (3yz + x2 )i + (2 y2

+ 3xz) j + (z 2

+ 3xy)k

потенциально

найти

его потенциал U (M ).

► Для

произвольной

точки M

имеем:

® ®

rot a (M ) =

¶x

¶y

¶z

3yz + x2

2 y 2 + 3xz z 2 + 3xy

= (3x - 3x) i - (3y - 3y) j + (3z - 3z) k = 0.

потенциально во всём пространстве. Для вычисления

Значит, поле a(M )

потенциала U (M ) за

точку M 0

удобно

принять начало

координат,

тогда, применяя

формулу

(13),

получим:

+ 2 y

+ z

U (M ) = òt 2dt + ò2t 2dt + ò(t 2 + 3xy)dt + c =

+ 3xyz + c. ◄

7.3.6. Показать, что ВП

z - z

ö®

a = ç

+ 5x ÷ i +

(2xyz - 3y) j + (xy2 - 2z - xz 2 )k

является гармоническим.

®® ® ® ®

►rot a = (2xy - 2xy) i - (y2 - z 2 - y2 + z 2 ) j + (2 yz - 2 yz) k = 0,

div a = 5 + (2xz - 3) + (2 - 2xz) = 0.

Поле a является потенциальным и соленоидальным одновременно,

т. е. гармоническим. ◄

7.3.7. Проверить,				является			ли		функцияU (M ) = x2 - 2xy - y2
гармонической		(DU (M ) = 0).
► Докажем,			что	DU (M ) = 0.			Вычислим частные			производные
	U x¢ = 2x - 2 y, U y¢ = -2x - 2 y, U xx² = 2, U yy² = -2 и
			DU (M ) = U xx² +U yy² = 2 - 2 = 0,
что и требовалось доказать.					◄
				Аудиторные задачи
I.	Вычислить		циркуляцию ВП				®	вдоль линии		L :
I.	Вычислить		циркуляцию ВП				a(M )	вдоль линии		L :
®			®		®	L : x2 + y2 = R2.
7.3.8. a (M ) = (x3 - y) i + ( y3 + x) j ,						L : x2 + y2 = R2.
®		®	®	®	L :	x2 + y2 =1,			x + y + z =1.
7.3.9. a (M ) = xy i + yz j + xz k ,					L :	x2 + y2 =1,			x + y + z =1.
®			®		®		®	x = 3cos t, y = 3sin t,
7.3.10. a(M ) = ( y - z) i + (z - x)					j + (x - y) k , L :			x = 3cos t, y = 3sin t,
z = 2(1 - cos t), t .
II.	Используя		формулу			Стокса, найти			циркуляцию		®
II.	Используя		формулу			Стокса, найти			циркуляцию		ВПa(M )
по замкнутому		контуру		L :

®® ® ®

7.3.11. a (M ) = 2xz i - y j + z k ,							L :	x + y + 2z = 2,		x = 0, y = 0, z = 0.
®	®		®		®			x2 + y2 + z 2 = 4, z 2 = x2 + y2 , z ³ 0.
7.3.12. a (M ) = y i - x j + z k , L :
®	®				®		x2 + y2 = 9, 3y + 4z = 5.
7.3.13. a (M ) = y 2 i + z 2					j , L :
III.	Проверить			соленоидальность ВП:
®					®			®		®
7.3.14. a (M ) = x(z 2 - y2 )i + y(x2 - z 2 ) j + z(y2 - x2 )k .
	®				®			®
®		x i		y j				ln z k
7.3.15. a (M ) =			+			- (x + y)			.
		yz
				xz				xy

- y j

7.3.16.

a (M ) =

+ (x2 - y2 )z k

(x2 + y2 )3 .

x2 + y2

IV.

Показать, что ВП потенциальные и найти их потенциалы:

7.3.17. a (M ) = (3x2

- 2xy + y2 )i +

(x2 - 2xy + 3y2 )

j .

yz i

+ xz j + xy k

7.3.18.

a (M ) =

1 + x2 y 2 z 2

7.3.19.

E (M ) - кулоновское поле

E (M ) =

| r |

Являются ли гармоническими функции U (M ) :

7.3.20.U = x2 y - y2 z + z 2 x.

7.3.21. U = x2 - y2.

7.3.22.

U = ln

x2 + y2

Задание на дом

7.3.23. Вычислить

циркуляцию ВП a(M ) = (2x + z) i + (2 y - z) j+ xyz k вдоль

линии

получаемой

пересечением

параболоида вращенияx2 + y 2 =1- z

с координатными

плоскостями.

7.3.24.

Используя

формулу

Стоксанайти

циркуляцию

L : x2 + y2 + z 2 = R2 ,

x + y + z = R.

ВП a (M ) = z 2 i + x2

j + y 2

k по контуру

7.3.25.

Проверить

соленоидальность

ВП

(x2

1) a (M ) = xy2 i +x2y j -

2 + y 2 )z k ;

2) a (M ) = (x2 y + y3 )i +

- xy2 ) j .

7.3.26.

Показать,

что

(y2

(z 2

ВП a = (x2

- 2 yz)i +

- 2xz)

j +

- 2xy)k

потенциально и найти потенциал этого поля.

7.3.27. Является ли

гармоническими

следующие

функции:

;

U = Ax3 + 3Bx2 y + 3Cxy2 + Dy3.

1) U =

x2 + y2 - x

Ответы:

7.3.8.

2pR2 .

7.3.9.

-p.

7.3.10.

30p.

7.3.11.

7.3.12. - 4p.

7.3.13.

7.3.14.

Да.

7.3.15.

Да.

7.3.16.

Да.

7.3.17.

U = x3 - x2 y + xy2 - y3 + c.

7.3.18. U = arctg xyz + c.

7.3.19. U =

+ c.

7.3.20.

Нет.

| r |

7.3.21.

Да.

7.3.22. Да.

7.3.23.

7.3.24.

p R3

7.3.25.

Да;

Да.

7.3.26. U (M ) =

+ y3 + z

- 2xyz + c.

7.3.27.

1) Нет;

Да,

если

A + C = B + D = 0.

Вопросы для самопроверки

Чему

равна

производная

СП по

направлению

любой

касательной

к поверхности (линии) уровня?

Возможные ответы:

1. Постоянной.

2. Нулю.

3. Функции.

Доказать,

что

производная

функцииU =

z 2

любой

т. M (x, y, z)

направлении, идущем

от

этой

точки

началу

координат,

равна

где

r =

x2 + y 2 + z 2

Влияет

ли

выбор

направления

поверхности

уровня

нормалиn

на направление

grad U (M )?

Возможные ответы:

1. Да.

2. Нет.

Каким

требованиям

должны

удовлетворять

составляющи

функции P (x, y, z),

Q (x, y, z)

R (x, y, z)?

ВП a = {P, Q, R}

Возможные

ответы:

1.Непрерывность.

2. Кусочная непрерывность.

3. Непрерывность

дифференцируемость.

Запишите ДУ векторных линий для плоского ВП

a = {P, Q}.

Распространяются

ли

на

поток

ВП

свойства

линейно

и аддитивности интегралов?

Возможные ответы:

1.Да.

2. Нет.

7. Доказать,

что объём тела,

ограниченного поверхностью G, равен

xdydz + ydxdz + zdxdy.

3 òò

Что

можно

сказать

потоке

через

любое

поперечное

сечение

векторной трубки соленоидального ВП a(M )?

Возможные

ответы:

1.Равен нулю.

2. Возрастает

увеличением

площади

сечения.

3. Неизменен.

Доказать,

что в

потенциальном

его

потенциальная

полеF (M )

функция U (x, y, z)

удовлетворяет уравнению Пуассона DU (M ) = div F (M ).

Самостоятельная работа «Теория поля»

1.1. Построить линии уровня СП U = . x2 + y 2

1.2.	Построить поверхности уровня СП U = x + 2 y + z.

1.3.Построить линии уровня СП U = 3x + 2 y.

1.4.Построить поверхности уровня СП U = x - 5 y - 2z.

1.5.Построить линии уровня СП U = 2x - 3y + 4.

1.6.Построить поверхности уровня СП U = x2 + 2 y 2 + z 2.

1.7.Построить линии уровня СП U =x2 +2 y2.

1.8.Построить поверхности уровня СП U = x2 - 2 y2 + z 2 .

1.9.Построить линии уровня СП U = 4x2 + y2.

1.10.Построить поверхности уровня СП U = x + 2 y2 + 3z 2.

1.11.Построить линии уровня СП U = x2 + y.

1.12.Построить поверхности уровня СП U = x2 - y.

1.13.Построить линии уровня СП U = -y2+2x.

1.14.Построить поверхности уровня СП U = z 2 + 2z + x.

1.15.	Построить линии уровня СП U =	2 y		.
1.15.	Построить линии уровня СП U =			.
		x2
1.16.	Построить поверхности уровня СП U =					arccos z		.
1.16.	Построить поверхности уровня СП U =							.
						x2 + y2
1.17.	Построить линии уровня СП U = 2x2 + y 2 - 4x.
	Построить поверхности уровня СП U =					3x2 + 4 y2
1.18.										.
1.18.						5z				.
						5z
1.19.	Построить линии уровня СП U = 3y2 - 2x2 + 6 y.
1.20.	Построить поверхности уровня СП U =					3z 2			.
1.20.	Построить поверхности уровня СП U =				5x2 - y2				.
1.21.	Построить линии уровня СП U =	1	(2 y 2 - 4 y +				1).
1.21.	Построить линии уровня СП U =		(2 y 2 - 4 y +				1).
		x2
1.22.	Построить поверхности уровня СП U =					2x2	.
1.22.	Построить поверхности уровня СП U =					4 y - y2	.
						4 y - y2

1.23.Построить поверхности уровня СП U = 4 y - y2 .

1.24.Построить поверхности уровня СП U = 3xy.

1.25.Построить линии уровня СП U = 4 y2 - x2 + 2x.2

Построить поверхности уровня СП U =

3x2

1.28.

y2 + 4z 2

1.29.

Построить линии уровня СП U =

4 + x2

Построить поверхности уровня СП U =

1.30.

y2 - 2 y

2.1.

¶U

= ?

U = exy

+ z

- xyz , M 0 (4, -1, 2) .

¶l

max

2.2.

^ ®

U = x2 + y2 - z2

, M

(2, 3, -1), M

(1, -1, 2).

çgradU

,gradU

÷ = ?

M 2 ø

2.3.

Найти точки,

в которых

U = xy.

| gradU |=1,

2.4.

Найти точки,

в которых | gradU |= 2, U = x2 + y2 .

2.5.

Найти точку,

в которой

U = 2x2 + xy,

gradU = a ,

a = i + 3 j .

2.6.

Каково направление наибольшего изменения СП U = x3 + y3 + 3x + 3y

начале

координат?

2.7.

Найти точку,

в которой

U = 3x2 + y2 ,

gradU = a ,

a = {1, 2 .}

2.8.

¶U

= ?

U = x2 + y2 + 5x -

0 (0, 2)

¶l

M 0

направлении

М 0М ,

M (3, 6).

Ù ®

, V =

2.9.

ç gradU , gradV ÷ = ? U =

øM

¶U

2.10.

= ?

U =

x2 + y2 + z

2 ,

M 0 (1, 2, 2).

¶l

max

¶U

U = ln(x2 + y2 )+ xyz,

2.11.

= ?

l = {1, -1, 5}, M 0 (1, -1, 2).

¶l

M 0

® Ù ®

x3 y2

1 ö

2.12.

çgradU , gradV ÷ = ?

U =

V =

ç1, 2,

÷.

x y

6 ø

øM 0

¶U

2.13.

= ?

U =

x2 + y2 + z 2 ,

M 0 (2, 1, - 2),

¶l

M 0

® Ù ®

®Ù ®

® Ù ®

( l , OX ) = ( l , OY ) = ( l , OZ ) <

¶U

= ? U = sin(x + 2 y)+

æp

xyz , M 0

2.14.

,3÷ .

¶l

max

¶U

2.15. Показать,

что

= 0 "l, M 0

(4, -12), U = x2 (x + 3)+ y 6(x + y).

¶l

M 0

yz 2

Ù ®

= x2 - y2 - 3z 2 ,

2.16.

çgradU , gradV ÷

= ?

V =

ø M0

0 ç

÷.

2.17.

¶U

= ?

U = x(ln y - arctg z),

M 0 (-2,1, -1).

¶l

max

¶U

2.18.

= ?

U = x2 + y2 - 3x + 2 y,

M 0 (0, 0), l = {4, 3 .}

¶l

M 0

2.19.

gradU = ?,

| gradU |= ?,

U = x sin z - y cos z,

M 0 (0, 0, 0).

¶U

2.20.

= ? U =

xy +

9 - z 2

, l = {1, 2 - 2}, M 0 (1,1, 0).

¶l

M 0

® Ù ®

çgradU , gradV

= ? U =

= 3 2x

3 2z

, M

2.21.

, 2,

øM 0

2.22.

¶U

= ?

U = 2x2 + yz + xz 2 ,

M 0 (3, -1,1).

¶l

max

¶U

2.23.

= ?

U = arctg

M 0 (1, 3),

l = {3, 4 .}

¶l

M 0

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>