6,7 Основное уравнение дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ уравнения регрессии

Выходная величина колеблется относительно средней величины и имеет определенный разброс.

величина е увеличивает этот разброс. Для оценки используется коэффициент детерминации R² который показывает какая часть дисперсии y описывается регрессионной моделью.

-ошибка данного уравнения

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ2. Она является мерой вариации частных средних по группам  вокруг общей средней  и определяется по формуле:

,

где k - число групп;

nj - число единиц в j-ой группе;

- частная средняя по j-ой группе;

 - общая средняя по совокупности единиц.

Оценка ошибки расчетного значения :

возведем в квадрат и просуммируем

Полная сумма квадратов отклонения

Сумма квадратов отклонения обусловлена регрессией

Ошибка - нормальная распределенная случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией. Ошибка модели на каждом шаге определяется разностью количественной оценки, которая является дисперсией в данном случае остаточной

- число степеней свободы, уменьшается от для расчета среднего от до по мере использования экспериментальных данных, в данном случае , где - количество коэффициентов уравнения без учета .

Примечание. Диапазон колебаний случайной величины характеризуется связанными между собой двумя величинами:

1. Дисперсия, которая легко рассчитывается по экспериментальным данным;

2. Коридор ошибки на временном графике. Зависит от доверительной вероятности, для

- абсолютная остаточная ошибка.

Существует еще одно преимущество дисперсионного анализа перед обычным t-критерием: дисперсионный анализ позволяет обнаружить эффекты взаимодействия между факторами и, поэтому, позволяет проверять более сложные гипотезы.

8. Показатели адекватности математической модели. Коэффициент множественной корреляции

Соответствие модели исследуемого объекта определяют соотношением суммы квадратных отклонений, обусловленной регрессией полной суммы квадратных отклонений. Это отношение называется коэффициентом детерминации.

- коэффициент множественной корреляции

имеет физический смысл: он показывает, какая часть дисперсии выходной переменной описывается регрессионным уравнением или какая часть дисперсии объясняется нашими знаниями в данном процессе.

Рассмотрим 2 случая:

1. Наша математическая модель совершенно не описывает результаты эксперимента

, при этом

Объект полностью не изучен

2. Мы сможем измерить - число входов и полностью описать значение выходных сигналов. Ошибка для всех экспериментов равна 0, тогда

Таким образом, изменяется: .

не может быть меньше 0; чем ближе к 1, тем модель более точно описывает объект. В связи с этим модель более адекватна.

Среднеквадратическое отклонение корреляционной функции:

Оценка коэффициента детерминации величина случайная и для нее существует 2 задачи

- действительно ли >0 те значим ли

- если значим то в каком диапазоне истинных значений он находится

Показатель адекватности модели

Т к коэф-т детерминации случайная величина то решают 2 задачи

- оценка достоверности коэф-та детерминации, те проверка условия >0

- оценка доверительного интервала, которая производится с помощью х критерия

Для этого оценивается СКО коэф-т детерминации

Истинное значение находится в коредоре

Если > доверительного интервала то коэ-т детерминации считается значимым

9. F-КРИТЕРИЙ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Введем понятие остаточной ошибки модели. Она же характеризует точность прогноза по регрессионному уравнению

- абсолютная ошибка

Данная ошибка может быть велика или нормальна. Для того что бы это определить необходимо ее с чем то сравнить

Ведем понятие дисперсии измерения

Пусть это случайная ошибка задаваемая прибором. Эта ошибка характеризуется своей абсолютной величиной

Ведем понятие дисперсии воспроизводимости –это дисперсия в переменной при постоянных значениях х и влияния неконтролируемых возмущений

Методика расчета дисперсии воспроизводимости

выбирается значение х=10 и х=20. При данных значениях фиксируется значение выходного сигнала у. Через определенное t при котором входные х1 и х2 изменятся. Вылавливаем момент когда х1 и х2 примут первоначальное значение . при этом возмущающие сигналы имеют другие значения.

Измерение в данном эксперименте выходной величины определяется изменением неконтролируемых величин и рассчитывается дисперсия воспроизводимости

Сравнивая остаточную сумму квадратных отклонений с дисперсией воспроизводимости, делается вывод об адекватности модели

Проверка достоверности производится по коэ-ту Фишера

Методика проверки:

определяется остаточная сумма квадратов :

определяется дисперсия воспроизводимости

рассчитывается

находим критерий фишера по таблице с учетом степени свободы для ост дисперсии и дисперсии воспр-ти

F=(V,V2)

сравниваем Fрасч и Fтабл : Fрасч < Fтабл остаточная дисперсия не значимо отличается от дисперсии воспр-я и регрессионная модель адекватно описывает экспериментальные данные ; Fрасч > Fтабл то остаточная дисперсия значимо отличается от дисперсии воспр-я и регрессионная модель не описывает о ОУ. сдел неоюх изменить структуру регресс модел