1. Природа образования случайных процессов

Систему управления рассчитывают при двух видах задающих и возмущающих воздействий.

1. детерминированные сигналы – сигналы, закон изменения которых известен и можно прогнозировать его изменение во времени (прогнозировать импульс во времени).

2. случайные (стохастические) сигналы зависят от большого количества факторов. Точное прогнозирование не возможно, но они обладают определенными закономерностями и параметрами, учитывая которые можно построить эффективную систему управления или технологический процесс.

Рассмотрим два графика:

На рис. 1 изменение тока во времени происходит при небольшом количестве потребления. Зная моменты включения и выключения потреблений, мы можем спрогнозировать изменение тока. Этот объект называется детерминированным.

На рис.2 представлено семейство кривых большого количества потреблений энергии, которое не позволяет учесть изменение тока во времени, то есть изменение в каждый момент времени. Считается, что данный процесс является случайным – стохастическим процессом.

1Характеристики случайных процессов

1. Математическое ожидание (среднее);

2. Дисперсия (среднеквадратическое отклонение СКО);

3. Автокорреляционная функция;

4. Спектральная плотность;

5. Функция распределения (гистограмма).

а Математическое ожидание

Данные сигналы отличаются уровнем, вокруг которого происходит некоторое число колебаний. Уровень характеризует наиболее вероятное значение случайной величины. Сам уровень характеризуется математическим ожиданием – наиболее вероятное значение случайной величины.

где – дифференцирующая функция распределения

Как правило, математическое ожидание случайной величины неизвестно и пользуются его оценкой.

Оценка - значение параметра случайной величины, полученное на основании экспериментальных данных.

Оценкой математического ожидания является среднее.

где - значения экспериментальных процессов, - их количество

Пример: Проведем анализ. Пусть есть партия лампочек равная десяти тысячам. Необходимо определить математическое ожидание продолжительности срока действия лампочек. Весь объем десять тысяч лампочек нужно определить среднее значение на десять тысяч. Определив среднее значение, мы получим значение математического ожидания, которое характеризуется и определяется по выборке, например, сто штук. Определяется среднее и по числу судят обо всей партии.

Полученное по выборке среднее отличается от математического ожидания и называется его оценкой. Для разных выборок соответственно будут получены различные выборочные средние. То есть, оценка тоже является случайной величиной и ее точность, как правило, повышается с увеличением объемов выборки.

Первые два графика, на которых величины колеблются на одном уровне x_ср, но диапазоны колебаний различны, вторая переменная имеет большую амплитуду колебаний от среднего. На рис. 3 величины различны по среднему (по ширине, по уровню коридора).

б Характеристикой ширины коридора колебаний является дисперсия.

Оценка дисперсии также определяется по экспериментальным данным:

х – величина экспериментальная

N – число экспериментов

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением (СКО)(оценка дисперсии):

в Функция распределения

Пусть случайная величина принимает значения в диапазоне от 50 до 100. Разобьем диапазон на коридоры и подсчитаем количество точек в каждом диапазоне.

n_i(x) – частота в i-том диапазоне

где - относительная частотность

– функция распределения, которая является теоретической величиной . Она показывает вероятность принятия случайной величиной конкретного значения x_i, а для непрерывной случайной величины вероятность нахождения случайной величины в коридоре, определяемом как x + Δx. Полученный экспериментальный график называется гистограммой.

Гистограмма – это экспериментальная оценка функции распределения. В практике имеет место большое количество функций распределения. Мы будем рассматривать нормальный закон распределения, закон распределения Стьюдента.

Существует разные законы распределения

1 нормальный – такое распределение случайной величины x плотность вероятности которой описывается

где - средне квадратичное отклонение Мх - математическое ожидание

2 эквипотенциальное распределение – распределение случайной величины которая описывается следующим выражением для плотности вероятности:

- положительная постоянная величина

3 равномерное распределение – которое описывается след выражением

г Корреляционная функция

Есть система с двумя входами и одним выходом

- корреляционная функция

Выходная переменная y(t) имеет диапазон отклонений СКО:

Часть дисперсии выходной переменной определяется изменением входных величинх₁, х₂, … х_n. Количественной оценкой связей является отклонение R².

Рассмотрим интервал (,), то есть те точки, которые попадают в данный интервал, то есть точки от предыдущих значений данного случайного процесса, то есть можно построить функцию связи: .

Корреляционная функция показывает степень связи текущего параметра с его предыдущим значением.

– максимальное время возможности прогнозировать случайный процесс.

Пример. Предположим показания погоды на текущее время 10⁰⁰ совпадает с показаниями с 9⁰⁰ – 10⁰⁰, но менее совпадают с показаниями с 7⁰⁰ и еще более расходятся с показаниями вчерашнего дня, прошедшей недели и т.д. То есть, корреляционная функция R_xx(0)=1 при τ=0 постоянно падает до нуля при τ>τ_зат. Вид корреляционной функции и время затухания являются количественными характеристиками случайного процесса.

д Спектральная плотность

Спектральная плотность показывает разложение дисперсии по частоте, то есть случайный процесс можно разложить на гармоники.

Каждая гармоника характеризуется свой частотой дисперсией коридором

X₁(t) → ω₁, σ_x1², (S_x1); ω=2πf₁

X₂(t) → ω₂, σ_x2², (S_x2)

X₃(t) → ω₃, σ_x3², (S_x3)

На компьютере всегда можно разложить случайный процесс на составляющие, определить их частоты и дисперсии. Покажем график спектральной плотности:

Площадь под кривой спектральной плотности равна сумме дисперсий гармоник и соответственно равна дисперсии исходного случайного процесса.

Спектральную плотность можно получить путем преобразования Фурье от автокорреляционной функции случайного процесса:

По уравнению Эйлера

Спектральная плотность – разложение дисперсии случайного процесса по частотам гармонических составляющих