2 Регрессионный анализ. Постановка задачи

Проведем построение математической модели линейного по параметрам объекта. Объект описывается уравнениями:

y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + … +β_nx_n.

Математическая модель находится как:

ŷ= b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_nx_n

x₁, x₂…x_n – вектор конкретных параметров.

B = b₀, b₁, … b_n – вектор параметров модели.

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ включает в себя:

1. Метод наименьших квадратов, используемый для оценки параметра вектора коэффициентов.

2. Дисперсионный анализ используется для оценки адекватности модели и для оценки значимости коэффициентов.

Предпосылки регрессионного анализа

1. Количество экспериментальных данных должно иметь , где N – количество экспериментов, m – количество входных факторов.

2. Выходная переменная имеет нормальный закон распределения.

3. Выходная переменная стационарна по дисперсии, то есть дисперсия выходного параметра в процессе эксперимента не изменяется.

4. Входные переменные являются детерминированными, то есть измеряются с малыми ошибками.

5. Входные переменные х₁, х₂, … х_n стохастически не связаны между собой, то есть коэффициент парной корреляции равен нулю.

6. Следующие друг за другом значения выходной переменной также не коррелированны, то есть период дискретизации больше времени затухания корреляционной функции.

Примечание. В практике часто не выполняются некоторые предпосылки регрессионного анализа. При использовании этого метода необходимо учитывать, что полученная модель может не точно описывать процесс и необходимо проверить модель, произведя дополнительные эксперименты.

3 Постановка задачи построения математической модели (идентификация)

Объект управления принято изображать структурной схемой:

х – вектор входных контролируемых факторов Х=(х₁, х₂, … х_n),

Е=(е₁, е₂, … е_n) – вектор входных неконтролируемых факторов,

У=(у₁, y₂, …y_n) – вектор выходных параметров.

Пусть реальный объект описывается уравнениями: Y=F₀(x, E), так как вектор Е не изменяется, то модель процесса строиться в виде: Ŷ=F(x).

Ŷ означает прогнозируемое по модели значение выходного фактора.

Обратим внимание, что структурная схема исходного уравнения и модели различны, то есть нельзя построить полностью достоверную модель. Задача заключается в нахождении зависимости F→F₀, так как структура разная близость оценивается по их реакции на одно и то же входное воздействие.

Критерий теории мнк (метод наименьших квадратов)

В процессе эксперимента производится

- набор дискретных значений х, у

- данные заносятся в таблицу

- строится корреляционное поле– зависимости выхода от входа

если бы все точки были на 1 прямой, то была бы зависимость

- в результате влияния неконтролируемых входов помехой e(x) имеется разброс точек вокруг этой прямой

Для каждой точки имеется невязка которая определяется

Для построения единственной прямой имеющей минимальную ошибку используют метод минимальных квадратов(МНК)

Суть метода:

нахождение коэффициентов регрессионного уравнении при обеспечении минимальной т е сумма квадратов отклонений должна быть минимальной

Выберем такую линию, которая является средней линией корреляционного поля. Математически она может быть выражена как линия, которая имеет минимальную сумму квадратических отклонений от всех экспериментальных точек.

Данное выражение является критерием уравнения модели:

Это выражение позволяет найти уравнения для определения коэффициентов b₀, b₁ при условии, что м→ min.

Условием экстремума функции является равенство нулю производной данной функции по исследуемому параметру, то есть по параметрам b₀, b₁.

Если ошибка будет обнаружена в коэффициенте , то линия тренда пройдет либо выше, либо ниже корреляционного поля.

Несовпадение графиков расчетной линии с корреляционным полем означает наличие ошибки в расчете, таким образом, необходимо провести проверку в расчете.