vostrikov

Отметим, что структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.64), состоит из цепочки n интеграторов, где n – порядок системы. Причем в обратной связи находятся коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (коэффициенты характеристического полинома), а в прямой связи – коэффициенты полинома ее числителя.

От полученной структурной схемы нетрудно перейти к модели системы в переменных состояния. С этой целью выход каждого интегратора примем за переменную состояния

x1 z, x2 z, , xn z(n 1) ,

что позволяет записать дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода системы (3.63) в виде

Систему уравнений (3.67) можно представить в векторноматричной форме (2.1) со следующими матрицами:

Модель системы в переменных состояния (3.67) будем называть

первой канонической формой.

Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции (3.63) к описанию в переменных состояния, для чего структуру системы (3.65) схематично представим на рис. 3.42. Ее операторные уравнения имеют вид

Рис. 3.42. Структурное представление передаточной функции (3.65)

Аналогично предыдущему случаю представим первое уравнение (3.68) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а входное воздействие z1 сформируем в соответствии со вторым уравнением (3.68) в виде суммы управления u и m его производных (рис. 3.43).

…

a1

Рис. 3.43. Схема, соответствующая уравнениям (3.68)

В результате структурных преобразований получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.44. Как видим, и в этом случае структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65), состоит из цепочки n интеграторов. В обратной связи также располагаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой связи – коэффициенты полинома ее числителя.

или матрица B (в случае второй канонической формы). Поэтому уравнения состояния, соответствующие двум каноническим представлениям системы, могут быть записаны непосредственно по передаточной функции (3.63) без перехода к структурным схемам, приведенным на рис. 3.40 и 3.43.

Как видим, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является процедурой неоднозначной. Мы рассмотрели варианты перехода к каноническому описанию, которые чаще других используются в теории автоматического управления.

ПРИМЕР 3.4

Получить два варианта канонического описания и соответствующих структурных схем для системы, модель которой имеет вид

Используем представление передаточной функции в виде (3.64) и запишем для нее операторные уравнения

от которых перейдем к структурной схеме, приведенной на рис. 3.45.

3

4

Рис. 3.45. Структурная схема, соответствующая первой канонической форме

которым соответствует структурная схема, показанная на рис. 3.46.

3

4

Рис. 3.46. Структурная схема, соответствующая второй канонической форме

Запишем теперь модель системы в виде второй канонической формы

3.6. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ СТРУКТУРНОГО МЕТОДА

Структурный метод удобен при расчете линейных автоматических систем, но имеет свои ограничения. Метод предполагает использование передаточных функций, главным образом при нулевых начальных условиях.

При использовании структурного метода необходимо придерживаться следующего правила: при любом преобразовании системы ее порядок не должен уменьшаться, т. е. недопустимо сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе передаточной функции.

Сокращая одинаковые множители, мы тем самым исключаем из модели системы реально существующие звенья. Тем не менее есть редкие ситуации, когда можно без ущерба для расчета сократить сомножители. На следующих примерах проиллюстрируем эти свойства.

ПРИМЕР 3.5

Рассмотрим систему, состоящую из интегрирующего и дифференцирующего звеньев, которые соединены последовательно.

Первый вариант соединения звеньев показан на рис. 3.47.

Используя структурные преобразования, найдем общую передаточную функцию

Отсюда следует вывод, что подобное соединение звеньев эквивалентно безынерционному звену, т. е. сигнал на выходе системы повторяет сигнал на ее входе. Покажем это,

рассматривая уравнения отдельных звеньев. Выходной сигнал интегрирующего звена определяется соотношением

t

z(t) z(0) u(t)dt,

0

где z(0) – начальное условие на интеграторе. Сигнал на выходе дифференцирующего звена, а следовательно, и всей системы имеет вид

y(t) z(t) u(t),

ЗАДАЧИ

3.1.Изобразить структурную схему системы, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

3.2. Изобразить структурную схему системы, модель которой представлена в переменных состояния:

3.3. Определить передаточные функции систем, если их структурные схемы имеют вид, показанный на рис. 3.49.

3

5

в

Рис. 3.49. Структурные схемы к задаче 3.3

3.4. Известны структурные схемы системы (рис. 3.50). Записать их модели в переменных состояния.

3

3

5

в

Рис. 3.50. Структурные схемы

кзадаче 3.4

3.5.Известна структурная схема системы (рис. 3.51).

Рис. 3.51. Структурная схема к задаче 3.5

3. Записать модель системы в переменных состояния.

4. Повторить пп. 1 и 2 для системы, структурная схема которой показана на рис. 3.52.

( )

Рис. 3.52. Структурная схема к задаче 3.5

3.6. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1.Записать первую каноническую форму.

2.Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3.Записать вторую каноническую форму.

3.7. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1.Записать первую каноническую форму.

2.Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3.Записать вторую каноническую форму.

3.8. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1.Записать первую каноническую форму.

2.Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3.Записать вторую каноническую форму.