Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Основы Теории Управления

Файл:

vostrikov

.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

12.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 485 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.7. Модальные характеристики

Система уравнений (2.34) будет иметь ненулевое решение относительно , если

det[ I A] 0.

(2.35)

Уравнение (2.35) есть характеристическое уравнение системы и имеет n корней ( 1,..., n ) , которые называются собственными значе-

ниями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.35) получим

i I A i 0

( i – собственные векторы, i 1, n ).

Совокупность собственных значений и собственных векторов пред-

ставляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.32) могут существовать лишь экспоненциальные решения

x (t) e	i t		,	(2.36)
		i
i

которые называют модами. Полное решение системы (2.32) представляет собой линейную комбинацию мод:

	n
x(t)	c e i t	i	.	(2.37)
	i	i
i	1

Для получения характеристического уравнения системы можно использовать выражение (2.27), т. е. приравнять нулю общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции).

При исследовании свойств системы ее

собственные значения (полюса) удобно изо-	Im	Im
собственные значения (полюса) удобно изо-	Im
бражать в виде точек на комплексной плос-
кости (рис. 2.6). Такое графическое пред-
ставление корней характеристического урав-
нения называют корневым портретом си-		Re
стемы. С его помощью в ряде случаев мож-
но практически без вычислений оценить ка-
чественные свойства процессов, протекаю-	Рис. 2.6. Пример корне-
щих в линейных системах.	вого портрета системы
щих в линейных системах.

42	Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ПРИМЕР 2.9

Изобразить корневой портрет объекта, поведение которого описывают следующие уравнения:

p1	p2	Re
p1	2	Re

Рис. 2.7. Корневой портрет объекта

x1 x1 x2 u, x2 4x1 x2 2u, y x1.

Определим матрицу объекта A

1 1

4 1

и запишем характеристическое уравнение

A( p) det( pI A) p2 2 p 3 0.

Собственные значения матрицы A следующие: p1 1 , p2 3 . Они изображены на комплексной плоскости корней в виде точек (рис. 2.7).

2.8. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важными динамическими характеристиками объекта являются его частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе. Чаще всего их используют для описания одноканальных объектов:

	b pm	1
W ( p) k	m			, n m.	(2.38)
W ( p) k	a pn		1	, n m.	(2.38)
	a pn		1
	n

Если на вход объекта подавать гармонический сигнал заданной амплитуды A1 и частоты ,

u A cos t,

то на выходе в установившемся режиме у устойчивого объекта (см. гл. 4) будет также гармонический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе

y A2 cos( t ) .

2.8. Частотные характеристики

Для нахождения соотношения между входным и выходным гармоническими сигналами можно воспользоваться передаточной функцией

(2.38), из которой формальной заменой p на						j получим обобщенную
частотную характеристику
		b	( j	)m	1
W ( p)	k	m					.	(2.39)
W ( p)	k	a	( j	)n		1	.	(2.39)
		a	( j	)n		1
		n
Ее можно представить в виде
W ( j ) A(	)e j		( )	R(	)	jI ( ).		(2.40)
Составляющие обобщенной			частотной			характеристики		W ( j )

имеют самостоятельное значение и следующие названия:

R( ) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ), I ( ) – мнимая частотная характеристика (МЧХ),

A( )	R2 ( ) I 2 ( ) – амплитудно-частотная характеристика

(АЧХ),

( ) arctg	I (	)	– фазовая частотная характеристика (ФЧХ).
	R(	)

Для исследования частотных свойств объекта или системы удобно использовать графическое представление частотных характеристик. В этом случае обобщенная частотная характеристика W ( j ) может быть

построена на комплексной плоскости в соответствии с выражением

(2.40), когда каждому значению частоты	i	соответствует вектор
	i

W ( j i ) . При изменении от 0 до

конец этого вектора «прочерчивает» на комплексной плоскости кривую, кото-

рая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Наряду с амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 2.8) можно построить все остальные частотные характеристики. Так, амплитудная частотная характеристика показывает, как звено пропускает сигналы различной частоты;

Im Im

W ( j	)
W ( j	)				Re
					Re

		(( )		)
		(( )		)	Re
			i		Re

A(A(i ))

Рис. 2.8. Пример амплитуднофазовой характеристики системы

44	Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного (A2 ) и входного сигналов (A1) . Фазовая частотная характери-

стика отражает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания, а это позволяет во многих случаях строить их практически без вычислений.

Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе,

L( ) 20lg A( ),

(2.41)

называется логарифмической амплитудно-частотной характери-

стикой (ЛАЧХ). При этом амплитуда измеряется в децибелах (дБ). При изображении ЛАЧХ (рис. 2.9) удобнее по оси абсцисс откладывать частоту также в логарифмическом масштабе, т. е. lg , выражен-

ную в декадах (дек.).

L, дБ

, град

L( )

( )

дек

, дек.

Рис. 2.9. Пример логарифмической

Рис. 2.10. Пример логарифмической

амплитудно-частотной характеристики

фазовой частотной характеристики

На практике применяется также и логарифмическая фазовочастотная характеристика. При ее изображении используется ось абсцисс, на которой указывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат откладывают фазу в градусах в линейном масштабе

(рис. 2.10).

Отметим, частотные характеристики можно использовать и для описания бесконечномерных объектов, если их получать экспериментально.

2.8. Частотные характеристики																						45
ПРИМЕР 2.10
Для объекта с заданной передаточной функцией
									W ( p)				10 p

													p	1
													p	1
построить амплитудно-фазовую (АФХ), вещественную частотную и фазо-
вую частотную характеристики (ВЧХ, ФЧХ).
Запишем выражение для обобщенной частотной характеристики, сде-
лав замену в передаточной функции p														j	:
				W ( j )				10 j				10		2	j	10			.

								j	1			2				2
												2		1		2		1
														1				1
Выражения для ВЧХ и ФЧХ имеют вид
R( )			10		2		,		(			)		arctg		I (	)			arctg	1	.
R( )		2					,		(			)		arctg		R(	)			arctg		.
		2			1
					1

						Ф ЧФЧХ									ВЧХВЧХ
	(	)
											Re W( j )
										ReW ( j		)

	ω		ω


	АФХ
	АФХ
ImWIm(Wj( j ))		АФХ
ImWIm(Wj( j ))

		Re W( j )
5
5	Re W(jω)
	Re W(jω)

Рис. 2.11. Частотные характеристики для примера 2.10

Соответствующие частотные характеристики, построенные при изменении частоты от 0 до , показаны на рис. 2.11.

46	Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эта глава является в некотором смысле вводной для всех последующих. В ней приведены основные способы представления математических моделей, которые в дальнейшем будут использованы для исследования свойств объектов и систем управления. Понятно, что введенные здесь характеристики отражают их поведение не только в динамике, но и в статике, поскольку статический режим представляет собой предел переходных процессов.

Наряду с динамическими характеристиками, которые используются в «классической» теории управления (переходные характеристики, передаточные функции, частотные характеристики), здесь рассмотрены также модальные характеристики и приведено описание объектов в переменных состояния. Дальнейшее содержание не требует более широких сведений о характеристиках систем, хотя в научной литературе есть попытки их описания с использованием и других математических конструкций.

Обращаем внимание на то, что ни одна математическая модель не может абсолютно точно отражать свойства физической системы, как бы ни повышали ее сложность с целью уточнения. Поэтому обычно стремятся получить модель, которая достаточно адекватно отражает свойства реального устройства и не является слишком сложной. В дальнейшем, говоря об объекте или системе, будем иметь в виду их математическую модель, представленную одной из динамических характеристик.

		L

			R
			R
U				U
U				U
	вх		С		вых
			С

ЗА Д А Ч И

2.1.Для схемы, изображенной на рис. 2.12, записать дифференциальное уравнение относительно входной и выходной переменных, если R 400 Ом ,

С2 10 3 Ф , L 100 Гн .

Рис. 2.12. Схема к задаче 2.1

Задачи

2.2. Записать уравнения математической модели, определить передаточную функцию, нули и полюса для объекта, схема которого при-

ведена:
на рис. 2.13, а, где R1	1 кОм , R2 2 кОм , С1 С2			1 мкФ ;
на рис. 2.13, б, где L1	1 Гн , L2	1 Гн , R1	1 кОм ,	R2 2 кОм .
	R1	R2
Uвх = u	C1	C 2	Uвых = y

R1 R2

Uвх = u

L 1

L 2

Uвых = y

Рис. 2.13. Схемы к задаче 2.2

2.3. Известно описание объекта в виде дифференциального уравнения относительно входной и выходной переменных

0,5y 4 y 3y 2 y 1,5u.

Записать модель в переменных состояния и определить матрицы объекта А, В, С.

2.4. Дифференциальное уравнение объекта имеет вид

y 3y y y u 2u 5u.

Записать модель в переменных состояния и определить матрицы объекта А, В, С.

48	Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
	2.5. Известно описание объекта в переменных состояния
	x1	2x2 ,
	x2	5x3 ,
	x3	4x1 2x2 x3 5u,
	y	0,1x1.

Определить матрицы коэффициентов А, В и С. Записать дифференциальное уравнение объекта относительно y, u.

2.6. Найти передаточную функцию, полюса и нули объекта, математическая модель которого имеет вид:

а)	2 y	4 y	2 y 4 y u ;
б) y		2 y	y	2u	3u u ;
в)	y	7 y	5y u 5u.

2.7. Определить передаточную функцию W ( p) y( p) / u( p) , если известны дифференциальные уравнения состояния объекта:

	x1	x2 ,					x1	x1 x2 ,
а)	x2	x3 ,				б)	x2	5x1	x3 ,
а)	x	4x x			x 6u,	б)	x	3x 2x		x 4u,
	3		1	2	3		3	1	2	3
	y x1		2x2		x3;		y x1;
	x1	3x1		2x2	u,
в) x2		x2		4x1	2u,

yx1 2x2.

2.8.Известна модель объекта в переменных состояния

x1	2x1	0,5x2	4u1,
x2	0,1x1 x2		0,4u2 ,
y1	2x1,
y2	x1	x2.

Определить матричную передаточную функцию.

Задачи								49
2.9. Известны матрицы объекта A, B и C:
A	1	2	, B	0	1	, C	1	0 .
	3	5		2	0		0	1

Найти его матричную передаточную функцию.

2.10. Перейти от передаточной функции к модели объекта в переменных состояния:

а) W ( p)			5	;	б) W ( p)		4 p	3	;

	( p2		7 p 3)				4 p3 8 p2	8 p 3
	( p2		7 p 3)				4 p3 8 p2	8 p 3
в) W ( p)			4			.

		(2 p3	0,8 p2	6 p	0,4)
		(2 p3	0,8 p2	6 p	0,4)

2.11. Записать аналитические выражения для всех частотных характеристик, если известна передаточная функция объекта:

а)	W ( p)	4		;		б) W ( p)		8 p	;

		(2 p2					(4 p2
		(2 p2	p)				(4 p2	4 p 1)
в)	W ( p)		10			.

		( p 1)(0,1p			1)

2.12. Построить амплитудно-фазовую характеристику объекта, поведение которого описывает следующая модель в переменных состояния:

x1	x2 ,		x1	2x1	x2 ,
а) x2	x1	x2 2u,	б) x2	x1	5x2 u,
y x1		5x2 ;	y x1	x2.

50 Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

2.13. Построить ЛАЧХ объекта, если его АЧХ имеет следующий вид:

		100					10		2	1
а)	A( )	100		;	б)	A( )	10			1		.


		2	1				2	0, 01		2	1

2.14. Построить ВЧХ и МЧХ для объекта со следующей передаточной функцией:

W ( p)		4		.

	4 p2
	4 p2		p 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 485 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Основы Теории Управления

#
23.01.20194.79 Mб13klek_OTU_06_Часть1.doc
#
23.01.20194.26 Mб18klek_OTU_06_Часть2.doc
#
23.01.2019770.5 Кб10OTURGR (Repaired)2.pdf
#
23.01.2019557.96 Кб14OTU_RGR_Vasenkova.docx
#
23.01.201912.99 Mб133vostrikov.pdf
#
23.01.2019139.78 Кб10РГР ОТУ 2016.doc