vostrikov

192 Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

33,4

1114,4

111,1

Рис. 6.16. Пример схемной реализации регулятора

Схемная реализация полученной передаточной функции корректирующего звена, соответствующая второму каноническому представлению (см. подразд. 3.6.2), показана на рис. 6.16.

6.5. МОДАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА

6.5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Модальный метод синтеза обычно применяется для расчета систем, работающих в режиме отработки начальных условий. Поскольку процедура расчета основана на использовании корней характеристического уравнения, которые относятся к модальным характеристикам системы, метод синтеза получил название «модального» [23].

Рассмотрим основные соотношения метода для случая, когда математическая модель объекта управления представлена в переменных состояния

Требования к поведению замкнутой системы формулируются в виде

но перейти к желаемому распределению корней на комплексной плоскости. На основе выбранных корней формируется желаемое (эталонное) характеристическое уравнение замкнутой системы

Метод синтеза предполагает организацию «пропорционального»

где K – матрица назначаемых коэффициентов.

После подстановки алгоритма управления (6.43) в уравнения объекта (6.41) получают уравнения замкнутой системы

Неизвестные коэффициенты матрицы регулятора необходимо определить таким образом, чтобы качество работы замкнутой системы соответствовало заданным оценкам. С этой целью приравнивают характеристическое уравнение замкнутой системы (6.45) желаемому (6.42) и получают соотношения для расчета элементов матрицы K в виде

Поскольку в общем случае зависимость ai (K) может быть нели-

нейной, найти коэффициенты матрицы K по выражению (6.46) не всегда удается даже для одноканального объекта, уравнения которого предварительно записывают в канонической форме.

Часто линейный одноканальный объект удобнее описывать с помощью передаточной функции, поэтому обсудим далее операторную методику модального метода синтеза, предложенную на кафедре автоматики НГТУ.

6.5.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНОГО ОБЪЕКТА

Рассмотрим объект управления, поведение которого описывает передаточная функция

где m n .

Модальный метод синтеза обеспечивает заданную реакцию системы на начальные условия, которая определяется корнями характеристического уравнения. Корни в свою очередь выбираются на основе требований, предъявляемых к динамике в виде условий (6.5). Кроме этого необходимо, чтобы в статике выполнялось условие (6.4), т. е.

Таким образом, задача синтеза заключается в обеспечении в замкнутой системе желаемого распределения корней и требуемой статики. Для ее решения предлагается использовать регулятор, который состоит

из двух составляющих: последовательного звена Ws ( p) на входе и звена с передаточной функцией Wd ( p) в цепи локальной обратной

связи. Таким образом, структурная схема замкнутой системы задана и имеет вид, представленный на рис. 6.17.

Звено прямого канала с передаточной функцией Ws ( p) будем называть корректором статики, а звено с передаточной функцией Wd ( p) –

корректором динамики. Процедура синтеза включает в себя рекомендации по определению параметров этих передаточных функций.

Wd ( p)

Рис. 6.17. Расчетная структурная схема для модального метода синтеза

Рассмотрим последовательно этапы модального метода синтеза системы регулирования.

6.5.3. ВЫБОР КОРРЕКТОРА СТАТИКИ

Для обеспечения условия статики (6.4) при произвольном возмуще-

где ks – коэффициент усиления регулятора; его численное значение

будет определено позже.

Полагая, что объект и корректор динамики не содержат интегрирующих звеньев, покажем выполнение условия (6.4). С этой целью запишем операторное выражение для выходной величины

Таким образом, использование корректора статики Ws ( p) вида (6.48) делает систему астатической, и условие (6.4) можно обеспечить

сошибкой 0 0 .

6.5.4.РАСЧЕТ КОРРЕКТОРА ДИНАМИКИ

Вкачестве корректора динамики предлагается выбирать звено со следующей передаточной функцией:

где B( p) – полином числителя передаточной функции объекта W0 ( p) , а D( p) – введенный расчетный полином с неизвестными коэффициен-

тами di , i 1, n .

Процедура модального метода синтеза заключается в приравнивании действительного и желаемого характеристических уравнений замкнутой системы и вычислении из полученных соотношений параметров регулятора.

Первоначально определим характеристическое уравнение системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.17:

причем его порядок равен ( n 1 ).

Подставляя вместо A( p) , D( p) и B( p) их выражения, получим

действительное характеристическое уравнение замкнутой системы в следующей форме:

198 Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Характеристическое уравнение (6.55) запишем в стандартном виде

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях оператора p желаемого (6.56) и действительного (6.52) характеристических уравнений системы, запишем выражения для определения неизвестных параметров регулятора:

Полученные из (6.57) расчетные соотношения имеют вид

Таким образом, мы определили параметры передаточных функций Ws ( p) и Wd ( p) регулятора, обеспечивающего в системе требуемые свойства в статике и динамике.

ПРИМЕР 6.8

Поведение одноканального объекта описывает передаточная функция

5

W0 ( p) p2 3 p 1 .

Требуется синтезировать систему, в которой качество процессов будет

Для определения параметров регулятора используем операторную процедуру модального метода синтеза, расчетная структурная схема которого приведена на рис. 6.18.

В качестве корректора статики используем интегрирующее звено с передаточной функцией Ws ( p) k p , что гарантирует нулевую статическую

ошибку в системе. С целью обеспечения требуемых динамических свойств формируем корректор динамики в виде

Сформируем теперь желаемое характеристическое уравнение третьего порядка. Предварительно выберем распределение корней, обеспечивающее заданное качество процессов. Поскольку в системе не допускается перерегулирование, корни должны быть вещественными и располагаться на

В соответствии с (6.55) получим желаемое характеристическое уравнение

6.5.5. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕГУЛЯТОРА

Рассмотрим возможность реализации регулятора, рассчитанного модальным методом. Корректор статики с передаточной функцией Ws ( p) , представляющий собой обычный интегратор, не вызывает за-

труднений. Остановимся подробнее на реализации звена обратной связи с передаточной функцией Wd ( p) .

Поскольку для реальных объектов управления степень полинома числителя передаточной функции W0 ( p) обычно меньше степени полинома ее знаменателя ( m n ), корректор динамики

как правило, имеет форсирующий характер. Это означает, что необходимо реализовать дифференцирующие звенья, которые усиливают влияние высокочастотной помехи.

С целью уменьшения этого влияния предлагается использовать специальный фильтр, который подключается параллельно объекту и

состоит из модели Wm ( p) (с выходом yˆ ) и стабилизирующей добавки L( p) (рис. 6.19). Его называют фильтром Калмана–Бьюсси или параллельным фильтром.

L(рp)

В(р)

А(р) y€

Рис. 6.19. Схема подключения фильтра

Здесь передаточная функция параллельной модели Wm ( p) W0 ( p) . Назначение стабилизирующей добавки L( p) – «сводить» к нулю разницу между выходом объекта у и выходом модели yˆ .

Исследуем свойства фильтра, записав выражение для ошибки

которое после преобразований принимает вид

A( p) B( p)L( p) 0 .