vostrikov

Так как положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, то условие устойчивости системы третьего порядка принимает вид

a3a2 a1.

Данное соотношение можно рассматривать как частный случай критерия Гурвица, т. е. оно является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем третьего порядка.

ПРИМЕР 4.4

Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, полагая в качестве выходной переменной угол поворота двигателя , который связан с угловой

скоростью вращения соотношением

d dt .

Добавим к основным уравнениям двигателя, приведенным в примере 2.4, выражение для угловой скорости вращения и получим модель объекта

d dt .

Запишем ее в виде одного дифференциального уравнения относительно переменной :

все параметры которого приведены в примере 2.4. Определим передаточную функцию двигателя по управлению, полагая М = 0,

Характеристическое уравнение имеет вид

4.3.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Критерий сформулирован А.В. Михайловым в 1938 г., он базируется на принципе аргумента теории функций комплексной переменной.

Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F ( j ) , который получается из

характеристического полинома

Выделим в (4.17) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу:

стический комплекс (4.18) представляет собой комплексное число

вектора F j выписывает на ком-

плексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом

Михайлова (рис. 4.8). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.17), в точке с координатами a1; j0 .

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от 0 до начинался на вещественной оси в точке a1 и проходил

последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в n-м квадранте.

Чтобы доказать критерий, проанализируем, как связаны корни ха-

скольку полином (4.16) можно представить в виде произведения простых сомножителей

104 Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Если характеристическое уравнение системы содержит комплексносопряженные корни с нулевой вещественной частью, то при опреде-

чивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть «мнимыми», значит, в нуль годограф Михайлова не обращается.

Определим теперь угол поворота вектора F ( j ) при изменении

частоты от 0 до . Предварительно рассмотрим отдельные сомножители выражения (4.20) и угол поворота соответствующего вектора. При этом выделим несколько вариантов корней.

1. Корень характеристического уравнения вещественный и отрица-

Следовательно, устойчивому вещественному корню соответствует

Аналогично можно определить угол поворота элементарного векто-

2. Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно-cопряженных

У этих двух векторов начальные фазы одинаковы по модулю ( 0 ),

Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-

Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равен .

ПРИМЕР 4.6

Проверить устойчивость системы (рис. 4.14). Данная система представляет собой упрощенную модель одного из сочленений руки роботаманипулятора [43]. Исполнительным механизмом является двигатель постоянного тока (см. пример 2.4), а соединение с рукой осуществляется через редуктор. На рис. 4.14 обозначено:

Uя – напряжение, подаваемое на якорь двигателя;

– угловая скорость вращения двигателя;

функция 1 p . Редуктор представляет собой безынерционное звено с пере-

даточной функцией Wр ( p) 1r , где r – передаточное отношение редуктора.

Рис. 4.14. Структурная схема руки робота

Проверим устойчивость системы при следующих значениях парамет-

Определим передаточную функцию системы, изображенной на рис. 4.15:

Как видим, ее числитель представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель – характеристический по-

тельно, во вспомогательной передаточной функции W ( p) полиномы

числителя и знаменателя имеют одинаковый порядок, равный n. Получим выражение для вспомогательной частотной характеристи-

ки на основе выражения (4.27):

при изменении от 0 до , используя те же соотношения, что и при

доказательстве критерия Михайлова. Если замкнутая система устойчивая, то общее приращение фазы числителя (4.28) будет

При устойчивой разомкнутой системе фаза знаменателя определя-

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы при устойчивой разомкнутой должно выполняться соотношение (4.31). Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: вспомогательная частотная характеристика не должна охватывать начало координат

комплексной плоскости. Так как W ( j ) отличается от W0 ( j ) на еди-

ницу, можно строить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, что значительно проще.

Формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкну-

той системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0

до не охватывала точку с координатами 1; j0 .

Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, приведены на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Иллюстрация критерия Найквиста:

1 – устойчивые, 2 – неустойчивая замкнутые системы

Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найк-

виста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до охватывает точку с координатами

1; j0 в положительном направлении r2 раз, где r – число корней

характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью [6].