vostrikov

7.2.9.ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

КСТРУКТУРНЫМ СХЕМАМ

Рассмотрим первый вариант перехода к структурной схеме от передаточной функции

Передаточную функцию (7.16) представим в виде произведения двух передаточных функций

1

W (z) A(z) B(z)

Рис. 7.18. Структурное представление системы (7.17)

Для каждого из звеньев запишем операторное уравнение

От операторной формы уравнений (7.18) перейдем к их записи в дискретном времени:

По уравнениям (7.19) построена структурная схема рис. 7.19. Полученная структурная схема позволяет перейти к модели системы

Модель системы в переменных состояния (7.20) будем называть «прямой» формой (в литературе встречается другое название – «первая каноническая форма»).

Рассмотрим второй вариант перехода к структурной схеме от передаточной функции (7.16), для чего запишем соответствующее ей разностное уравнение в операторной форме

Перейдем к записи уравнения (7.21) в дискретном времени:

y(k n) a0 y(k) b0u(k) a1y(k 1) b1u(k 1)

y(k n 1) x1(k) a1 y(k) b1u(k)an 1 y(k n 2) bn 1u(k n 2).

Процедуру сдвига аргумента и замены переменной выполним n раз. В новом базисе разностное уравнение (7.22) можно представить в век- торно-матричной форме

y(k) xn (k)

ПРИМЕР 7.6

Задано линейное разностное уравнение, необходимо перейти к системе разностных уравнений

0,5y(k 2) 1, 2 y(k 1) 1,5y(k) 0, 4u(k 1) u(k) .

236 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Исходное разностное уравнение приведем к нормированному виду, для этого коэффициент перед y(k + 2) должен быть равен единице:

y(k 2) 2, 4 y(k 1) 3y(k) 0,8u(k 1) 2u(k) ,

далее разрешим это уравнение относительно y(k + 2):

Выполним сдвиг аргумента в последнем уравнении назад на один шаг:

Процедуру сдвига аргумента и замены переменной выполним для последнего уравнения еще раз:

y(k) x1(k 1) 2, 4 y(k 1) 0,8u(k 1) , y(k) x2 (k) .

Запишем систему разностных уравнений для новых переменных х1 и х2 :

В итоге получаем систему разностных уравнений в «транспонированной» форме.

7.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Свойство устойчивости для линейных импульсных систем, как и для линейных непрерывных, определяется только ее параметрами и означает, что выходной сигнал будет ограниченным при ограниченном входном воздействии, независимо от начальных условий.

Устойчивость – свойство объекта или системы с течением времени приходить в равновесное состояние.

Равновесное состояние – такое состояние, в котором все переменные состояния неизменны.

Запишем исходную систему разностных уравнений для объекта управления:

полагаем при этом, что управляющее воздействие неизменно и ограниченно:

u(0) u(1) ... u(k n) u const .

Поскольку в состоянии равновесия все переменные состояния в выражении (7.24) неизменны, уравнение равновесия принимает вид

1(k)

Рис. 7.21. Пример движения системы в отклонениях к положению равновесия

Преобразуем исходное уравнение (7.24) в уравнение в отклонениях от положения равновесия:

240 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

7.3.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОБЩЕГО УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Изобразим плоскость корней линейной импульсной системы

(рис. 7.22).

Очевидно, линейная импульсная система (ЛИС) устойчива, если все ее корни лежат в круге единичного радиуса.

Рис 7.22. Область устойчивости в пространстве корней

Процедура анализа устойчивости линейной импульсной системы:

1)записать характеристическое уравнение det(zI – A) = 0;

2)найти корни zi .

3) проанализировать zi по критерию | zi |< 1, i 1, n.

7.3.3. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Для анализа устойчивости ЛИС можно взять уже известные критерии из теории линейных непрерывных систем (см. главу 4). Для этого необходимо воспользоваться преобразованием, отображающим круг единичного радиуса плоскости корней ЛИС в левую полуплоскость комплексной плоскости псевдокорней (рис. 7.23).