vostrikov

дельта-функций, в соответствии с принципом суперпозиции выход ПНЧ представляет собой сумму реакций на последовательность дельта-функ- ций, т. е. сумму импульсных переходных функций

y(t) u(kT )g(t kT ) .

k 0

Далее непрерывный выходной сигнал преобразуется в решетчатый по известной процедуре:

y* (t) u(kT )g(nT kT ) (t nT ) .

n0 k 0

Крешетчатому выходу y* (t) применяется преобразование Лапласа.

Витоге получаем изображение решетчатого выхода y* (s) :

где g(t) – импульсная переходная функция ПНЧ. Введем новую переменную q = n – k, тогда n = q + k,

Напомним, что ИПФ равна нулю при отрицательных значениях аргумента, при выводе было использовано это свойство. В итоге получим

Операторное соотношение, связывающее изображения решетчатого входа и решетчатого выхода, есть дискретная передаточная функция

Введем новый оператор z esT и назовем его оператором сдвига на шаг вперед, тогда изображение по Лапласу управляющего сигнала (7.6) можно представить в виде z-изображения

k0

адискретная передаточная функция принимает вид

Последовательно выполняя операторные преобразования ИПФ, построим цепочку выводов:

Последнее равенство в этой цепочке (7.9) и есть рабочее соотношение для нахождения дискретной передаточной функции непрерывного объекта, при условии, что на его входе и выходе стоят экстраполяторы нулевого порядка.

Основные теоремы Z-преобразования приведены в приложении 1, а таблица Z-преобразования – в приложении 2.

ПРИМЕР 7.3

Задана передаточная функция непрерывного объекта

2

WO (s) 0, 04s2 0,5s 1 .

Необходимо найти дискретную передаточную функцию W (z) при шаге дискретизации по времени T = 0,02 с.

Воспользуемся выражением (7.9), таблицей Z-преобразования (см. приложение) и получим

Дискретная передаточная функция имеет второй порядок, такой же, как и исходная непрерывная передаточная функция

7.2.5. ДИСКРЕТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Дискретную передаточную функцию объекта найдем, используя систему разностных уравнений (7.2), по аналогии с непрерывной передаточной функцией (см. главу 2, разд. 2.6).

Если запишем уравнение состояния в операторной форме

zx(z) Ax(z) Bu(z) ,

из которого можно определить вектор состояния

x(z) (zI A) 1 Bu(z) ,

то второе уравнение системы (7.2) позволяет найти вектор выхода

y(z) C(zI A) 1 Bu(z) .

Матрица взаимосвязи между вектором выходных переменных и вектором управляющих воздействий в последнем выражении есть матричная передаточная функция

где Wij (z) – скалярная передаточная функция, связывающая управ-

ляющее воздействие ui (z) и выходную переменную y j (z) , i 1, m ,

j 1, m .

Представим нормированную передаточную функцию одноканального объекта в виде отношения полиномов числителя B(z) и знаменателя A(z):

Нормирование передаточной функции состоит в том, что коэффициент при старшей степени оператора z в знаменателе равен единице.

Отметим очень важное свойство дискретной передаточной функции: порядок полинома числителя у большинства объектов равен (n–1), где n – порядок объекта. Исключением из этого правила являются объекты, исходная непрерывная передаточная функция которых имеет полиномы числителя и знаменателя одинакового порядка, дискретная передаточная функция в этом случае также будет иметь полиномы числителя и знаменателя одинакового порядка, равного порядку объекта n:

Коэффициент передачи объекта в статике K0 можно найти, используя теорему о конечном значении

226 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Перейдем от передаточной функции к разностному уравнению и для этого рассмотрим соотношение

Подставим в (7.12) передаточную функцию (7.11) и запишем разностное уравнение в операторной форме

Используя теоремы Z-преобразования, можно перейти от (7.13) к обычному разностному уравнению в дискретном времени

Сдвигом аргумента можно преобразовать (7.14):

Как видим, текущее значение y(k) зависит от n предыдущих значений y(i) и u(i), что можно назвать свойством памяти динамических систем.

ПРИМЕР 7.4

Найти дискретную передаточную функцию по заданной системе разностных уравнений:

x1(k 1) x1(k) x2 (k) u(k),

x2 (k 1) 2x1(k) x2 (k) 2u(k), y(k) x1(k ) 2x2 (k ).

Запишем матрицы А, В, С дискретной модели:

Дискретную передаточную функцию для заданной системы разностных уравнений найдем по выражению (7.10). Сделаем это поэтапно:

Передаточная функция имеет второй порядок, такой, как порядок исходного разностного уравнения.

ПРИМЕР 7.5

Перейти от дискретной передаточной функции W(z) к разностному уравнению, где

Поскольку передаточная функция есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях, разностное уравнение в операторной форме имеет вид

(z3 0, 6z2 0, 9z 1, 2) y(z) (0, 4z2 0, 3z 0, 2)u(z) .

Воспользуемся теоремами Z-преобразования и получим разностное уравнение в дискретном времени

Как видим, порядок разностного уравнения n = 3 и совпадает с порядком исходной передаточной функции.

7.2.6. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Обратное Z-преобразование дает возможность перейти от изображения y(z) к значениям y(kT) только в фиксированные моменты времени, соответствующие шагу квантования. При этом обратное Z-преобра- зование не дает ответа на вопрос, как изменяется значение y(t) между этими точками (рис. 7.11).

Предположим, что изображение исследуемого сигнала y(z) известно и имеет вид правильной дроби. Разделим числитель этой дроби на знаменатель и получим бесконечный ряд:

Рис. 7.11. Пример восстановленного сигнала

Запишем изображение для исследуемого сигнала по аналогии с полученным ранее изображением для управляющего сигнала (7.8):

Сравнивая два последних равенства, получим:

y(0) c0 , y(1) c1, ... , y(k) ck , ... .

Обратное Z-преобразование позволяет получить оригинал по изображению, но только в фиксированные моменты времени.

7.2.7. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим некоторые правила преобразования структурных схем линейных дискретных систем.

Рис. 7.12. Последовательное соединение звеньев

Правило: передаточная функция последовательного соединения звеньев (рис. 7.12) равна произведению передаточных функций этих звеньев

W(z) W1(z) W2 (z) .

Рис. 7.13. Последовательное соединение двух непрерывных звеньев

Правило: передаточная функция последовательного соединения двух непрерывных звеньев, не разделенных экстраполятором (рис. 7.13), равна Z-преобразованию произведения передаточных функций этих звеньев

Рис. 7.14. Последовательное соединение двух непрерывных звеньев, разделенных экстраполяторами