vostrikov

Правило: передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, т. е.

В этом нетрудно убедиться, если выходную переменную системы представить в виде произведения передаточной функции звена и соответствующего входного сигнала

y Wm ( p)xm 1 Wm ( p)Wm 1( p)xm 2 Wm ( p) W1( p)u.

Отношение выходного сигнала системы y к ее входному сигналу u представляет собой общую передаточную функцию (3.52) соединения.

3.3.2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

Правило: передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

Такое соединение звеньев показано на рис. 3.30, причем знак «–» внутри сумматора означает отрицательную обратную связь.

Правило: передаточная функция системы с отрицательной обратной связью равна дроби, в числителе которой стоит передаточная функция прямого канала W1( p) , а знаменатель представляет собой

сумму единицы и произведения передаточных функций прямого и обратного каналов системы.

В случае положительной обратной связи формула (3.54) принимает вид

На практике обычно встречаются системы с отрицательной обратной связью, для которых передаточная функция находится по соотно-

шению (3.54).

3.3.4.ПРАВИЛО ПЕРЕНОСА

Внекоторых случаях для получения общей передаточной функции системы с помощью структурных преобразований удобнее было бы перенести точку приложения сигнала через звено ближе к выходу или входу. При таком преобразовании структурной схемы следует придерживаться правила: передаточная функция системы должна оставаться неизменной.

Рассмотрим ситуацию, когда точка приложения сигнала переносится через звено ближе к выходу. Исходная структура системы показана на рис. 3.31. Определим для нее результирующую передаточную функцию

Wp()

3

Рис. 3.31. Структурная схема исходной системы

Перенесем точку приложения сигнала через звено с передаточной функцией W2 ( p), добавив в этот канал некоторую передаточную

функциюW4 ( p). Получим структурную схему преобразованной системы (рис. 3.32). Для нее передаточная функция имеет вид

Рис. 3.32. Структурная схема преобразованной системы

Поскольку при преобразовании структуры системы ее передаточная функция не должна измениться, приравняв правые части выражений (3.56) и (3.57), определим искомую передаточную функцию W4 ( p) :

Используя правила структурных преобразований, запишем передаточные функции соединений звеньев:

W1( p) Wу.М( p)Wд( p)Wр( p),

W2( p) Wдат ( p)Wк ( p) ,

W3( p) Wп( p)Wф.д( p).

Теперь определим передаточную функцию внутреннего контура

и прямого канала системы

W5( p) W3( p)W4( p).

Наконец, определим полную передаточную функцию системы

3.4. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Второй способ составления структурной схемы основан на использовании дифференциальных уравнений. Рассмотрим его сначала для объекта, поведение которого описывают векторно-матричные уравне-

ния (2.1), (2.2):

Проинтегрируем уравнение состояния в (3.59) по времени и определим переменные состояния и выхода в виде

t

x(t) x(0) ( Ax Bu)d ,

(3.60)

0

y(t) Cx(t).

Уравнения (3.60) являются основными для составления схемы.

A

Рис. 3.36. Структурная схема, соответствующая уравнениям состояния объекта

Структурную схему, соответствующую уравнениям (3.60), удобнее изображать, начиная с выходных переменных y, причем входные и выходные переменные объекта желательно располагать на одной горизонтальной прямой (рис. 3.36).

Для одноканального объекта структурную схему можно составить по уравнению (2.3), разрешив его относительно старшей производной

Проинтегрировав (3.61) n раз, получим

Системе уравнений (3.62) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.37.

Рис. 3.37. Структурная схема, соответствующая уравнениям (3.61), (3.62)

Как видим, одноканальный объект управления, поведение которого описывает уравнение (3.61), структурно всегда можно представить в виде цепочки из n последовательно соединенных интеграторов с обратными связями.

ПРИМЕР 3.3

Изобразить структурную схему объекта, модель которого задана следующей системой дифференциальных уравнений:

x1 x1 2x2 ,

x2 3x1 5x2 2u, y x1 x2.

Предварительно проинтегрируем уравнения состояния

5

3

Рис. 3.38. Иллюстрация составления структурной схемы по уравнениям состояния

В соответствии с интегральными уравнениями на рис. 3.38 изобразим структурную схему системы.

3.5.ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

ККАНОНИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ

Обсудим наиболее известные способы преобразования математической модели объекта в виде произвольной передаточной функции к описанию в переменных состояния. Для этой цели используем соот-

ветствующие структурные схемы. Отметим, что данная задача неоднозначна, так как переменные состояния для объекта можно выбирать различным образом (см. разд. 2.2).

Рассмотрим два варианта перехода к описанию в переменных состояния от передаточной функции объекта

Каждому из этих представлений (3.63) соответствует своя простая модель в переменных состояния, которая называется канонической

формой.

3.5.1. ПЕРВАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА

Рассмотрим преобразование математической модели системы с передаточной функцией (3.64). Ее структурную схему можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев (рис. 3.39).

Рис. 3.39. Структурное представление системы (3.64)

Для каждого звена системы запишем соответствующее операторное уравнение

80 Глава 3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

Определим из первого уравнения (3.66) старшую производную переменной z , что соответствует значению pn z в операторной форме

pn z u an pn 1z a1z.

Полученное выражение позволяет представить первое уравнение (3.66) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а выходная переменная y формируется в соответствии со вторым уравнением (3.66) как сумма переменной z и ее m производных (рис. 3.40).

…

a1

Рис. 3.40. Схема, соответствующая уравнениям (3.66)

Используя структурные преобразования, получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.41.

…

a1

Рис. 3.41. Структурная схема, соответствующая канонической форме