Вопрос 13. Случайная погрешность измерений. Математическое описание случайных погр. Измерений.

Погрешности измерений принято выражать суммой двух составляющих, называемых случайной  и систематической  погрешностями измерений:

 =  +  .

(1.3)

Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Для выявл.  необх. провод. многократные измер. В рез-те таких измер. получ. совокупность знач. измер. вел-ны Х и сотв-их им . Для обраб. получ. совокупности знач. Х и  прим. методы матем. статистики и теор. вероятности. В соотв. с данными методами предполаг., что вел-ны Х и  явл. непрерывными случ. вел-ми, т.е. имеют безчисленное множество знач. при бесконечном числе измер.

Матеем. описание непрер. случ. вел-н осущ. с пом-ю диффер. з-нов распред. случ. вел-ны. Эти з-ны опред. связь между случ. вел-ной и плотностью её распред. в данной точке (плотностью вер-ти). Р(х) = f(х).

Наиб. часто примен. равномерный и нормальный з-н распред.:

Р(х)

Р(х) = 1 / (σ√2π) * е^{-(х – М(х))^2 / 2σ^2}

М(х)

Х

σ

Для получения кривой распред. для , начало корд. переносят в точку М(х) – матем. ожидание.

Р() = 1 / (σ√2π) * е^{-0,5(/σ)^2}

Хар-ками норм. з-на распред. явл.:

1) М(х) 2) σ – среднеквадрат. отклонение

М(х) – знач. случ. вел-ны вокруг котор. группируются рез-ты отдельн. измер.

σ – хар-ет рассеивание рез-тов отдельн. измер. относит. М(х).

σ геометрически опред. как расстояние от оси симметрии кривой до точки её перегиба.

σ – хар-ет точность проведённых измер. Чем < σ, тем выше точность измерений.

Для количеств. оценки объективной воз-ти появления того или иного знач. случ. вел-ны служит понятие вероятности (Р). Выраж. в долях единицы.

Чтобы опред. Р попадания рез-та отдельн. измер. в заранее заданный интервал значений [-_д; +_д] необх. найти площадь под кривой распред. случ. вел-ныогранич. этим интервалом, т.е.:

Р = 1 / (σ √2π) * ∫е^{- 0,5(/σ)^2} d

Вычислить аналитически данный ∫ невозможно. Он приводится в виде таблиц, где даются его ≈ значения в долях единицы. На практике реш. обратная задача:

- задаются доверительные вероятности

- по таблице опред. знач. интервала.

∆_д – доверит. интервал – интервал знач. случ. вел-ны, кот. с заданной вер-ю Р накрывает истинное знач. случ. вел-ны.

Наиболее часто исп. интервалы:

∆_д Р_д

± 2/3σ 0,500 50% не входят в интервал

± 2 σ 0,950 5%

± 3 σ 0,997 0,3%

Равномерный з-н распределения

0, при - ∞ << - a

Р () = 1/2a, при –а ≤ ≤+а

0, при +а << +∞