3.4. Колебательность систем автоматического регулирования

Степень затухания – отношение разности двух соседних амплитуд колебаний, направленных по одну сторону от линии установившегося значения, к большей из них (см.рис.3.1):

. (3.11)

Показатель  характеризует колебательность переходных процессов и запас устойчивости системы. Значение 0  соответствует незатухающим колебаниям на границе устойчивости системы. При  имеем апериодический переходный процесс [14].

Для устойчивости САР корни ее характеристического уравнения должны быть «левыми». При этом каждому вещественному корню -а_i соответствует апериодическая составляющая переходного процесса вида:

(3.12)

а каждой паре комплексно-сопряженных корней – колебательная составляющая:

. (3.13)

Чем больше по абсолютной величине вещественная часть корня -_i, тем дальше корень удален от мнимой оси, тем меньше вклад соответствующей составляющей в результирующий переходный процесс. Поэтому при исследовании системы на устойчивость делается допущение: вид кривой переходного процесса, в основном, определяется ближайшим к мнимой оси комплексным корнем, а влиянием остальных корней можно пренебречь.

Обозначим ближайший к мнимой оси корень через р_1,2 = . Степенью колебательности m называется тангенс угла  между лучом ОА, проведенным через ближайший к мнимой оси корень и осью ординат (рис. 3.4).

Рис.3.4. Геометрическая интерпретация степени колебательности

При m = 0 имеем незатухающий переходный процесс на границе устойчивости системы, а при - апериодический процесс.

Для колебательного звена между показателями m и существует однозначная связь. Записывая выражение для переходной функции колебательного звена для моментов времени t₁ и t₃ (рис. 3.5), получим:

Учитывая определение  (3.11), а также то, что t₃ – t₁ = T = , получаем:

. (3.14)

Требования к показателям качества противоречивы. Например, уменьшение динамической ошибки достигается за счет увеличения колебательности и длительности переходных процессов. Наоборот, процессы с малым временем регулирования удается получить за счет увеличения динамической ошибки [7].

Относительно желаемых показателей качества в замкнутой САР приходится принимать компромиссное решение. Переходные процессы с определенными показателями качества рекомендуются при расчете САР в качестве типовых. Основным показателем качества считается степень затухания , т.е. колебательность переходного процесса, поскольку этот показатель характеризует запас устойчивости САР. Наиболее употребительными при расчетах являются значения m=0,2210,336, соответствующие значениям =0,750,9 [16].

Рис.3.5. Определение взаимосвязи между  и m

Для обеспечения заданной степени колебательности m_зад, ближайший к мнимой оси корень должен располагаться на луче, проведенном под углом к мнимой оси таким, что tg=m_зад. Следовательно, луч ОА (рис. 3.4) является границей области заданной колебательности, а сама область расположена слева от этой границы.

Уравнение луча ОА может быть получено из следующего выражения: j mj – m).