3.7. Примеры расчета устойчивости и критериев качества сар

Для проверки корректной работы программы были осуществлены расчеты устойчивости и критериев качества САР еще для двух примеров.

Структурные схемы, передаточные функции САР, найденные по их структурным схемам, ввод передаточных функций звеньев и их характеристик, переход от передаточных функций САР к полиномиальному представлению, рассчитанные корни характеристического уравнения и графики переходных процессов для этих двух примеров приведены в разделах 1.7 и 2.3.

Пример №2.

Передаточная функция объекта:

.

Подтверждение факта устойчивости системы демонстрируется результатом работы программы, приведенным на рис.3.8.

Рис.3.8. Исследование САР на устойчивость для примера №2

Рассчитанные значения критериев качества: I₁ = 17,9; I = 12,75; t_p = =54,6;  = 39%; m =0,078;  = 0,388; У_ст=0,805; У_дин=0,195 (см.рис.3.9).

Рис.3.9. Критерии качества САР для примера №2

По полученным значениям можно сделать следующие выводы:

1. Интегральные оценки имеют конечные числовые значения, следовательно, система устойчива;

2. Система является статической, так как есть статическая ошибка;

3. Степень колебательности m=0,078 и степень затухания =0,388 говорят о том, что процесс затухает медленно.

4. Величина перерегулирования =39% является допустимой, поэтому запас устойчивости является достаточным.

Определение параметров модели методом площадей

Метод площадей Симою М.П. позволяет определить передаточную функцию модели объекта по кривой разгона.

Кривая разгона – реакция динамического звена (объекта регулирования) на скачкообразное воздействие произвольной амплитуды. В отличие от классического определения переходной характеристики амплитуда входного воздействия не равна единице. Кривая разгона может быть получена как экспериментально, так и расчетным путем.

Динамические свойства объекта аппроксимируются моделью следующего вида:

, (1)

где

– коэффициент усиления,

– время запаздывания (запаздывание),

– коэффициенты передаточной функции,

– (2)

нормированная передаточная функция с коэффициентом усиления равным единице (3)

Основной задачей является определение коэффициентов передаточной функции методом, предложенным М.П. Симою.

Процедура определения параметров передаточной функции модели объекта с самовыравниванием. Для вывода основных формул использован подход, предложенный в работе [2]

Рассмотрим инверсную передаточную функцию модели

. (22)

Разложим в ряд Тейлора в точке s=0:

, (23)

где =S₀=1.

Коэффициенты разложения названы М.П.Симою площадями.

При известных площадях легко определяются коэффициенты передаточной функции a_i, b_i.

Для этого умножим обе части равенства (23) на знаменатель . В результате получим

. (24)

Раскрывая скобки в правой части (24) и приводя подобные члены получим степенной ряд

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях s слева и справа, получим линейную систему уравнений для определения коэффициентов модели :

(25)

Для определения коэффициентов необходимо N =m + n уравнений и такое же количество площадей. Поскольку, как правило, порядок модели заранее не известен, необходимо задаваться порядком модели.

Рассмотрим частные случаи:

1. . (26)

В зтом случае и для определения параметров модели достаточно знать N=n площадей, система (26) приводится к виду

(27)

Простейшими моделями такого вида являются:

1.1. (28)

1.2. (29)

1.3. (30)

Необходимо иметь в виду, что все используемые площади должны быть положительными. В противном случае модель не устойчива (критерий Стодолы).

2. . (31)

Для определения 3-х коэффициентов необходимо 3 уравнения. Система (25) принимает вид:

(32)

Из последнего уравнения системы (32) находим , подставляя в первые два находим .

3. . (33)