Связь между моментом силы и моментом импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом r. Пусть на неё действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение. a=F/m или F= am. a=r => F=rm; Fr=mr²; M=Fr; I= mr² => M=I или = M/I.

Угловое ускорение точки при её вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

Момент инерции.

Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от её распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Если тело однородно и его плотность =m/V, то

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объёму.

Тонкий стержень	Перп. (центр)	ml2/12
	Перп. (конец)	ml2/3
Кольцо, обруч, труба, маховик	Перп. плоскости основания	mR2
Диск (цилиндр)		mR2/2
Шар	Центр щара	2mR2/5

Теорема Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и величины md²: I=I₀+ md², где d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Момент импульса тело относительно неподвижной оси.

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частей L=sum(mir_i²)=I.

Закон сохранения момента импульса.

Изменение момента импульса равно импульса момента сил: dL=d(I)=Id=Mdt.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной. d(I)=0, I=const.

Работа при вращении твёрдого тела.

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела: dA=dE или dA=d(I²/2)= Idt.

Учитывая, что I=M, dt=d, имеем dA=Md.

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол  равна .

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Разобьём тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью i=ri, тогда кинетическая энергия точки Eкi=mi_i²/2 или Eкi=mir_i²_i²/2.

Полная кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

Если тело совершает поступательное и вращательное движение одновременно, то его полная кинетическая энергия равна Eк=m²/2+I²/2.

Преобразования Галилея.

Допустим инерциальная система К движется со скоростью V вдоль оси OX относительно другой инерциальной системы К. Для простоты предположим, что оси координат систем К и К в начальный момент времени t=t=0 совпадали.

Связь между радиус-векторами r и r одной и той же точки P в системах К и К имеет вид r=r-Vt. Соотношение можно записать для каждой из декартовых координат. С учётом того, что t=t, получим: x=x-t, y=y, z=z, t=t. Эти уравнения называют прямыми преобразованиями Галилея.

Если материальная точка Р неподвижна в системе К, то уравнение её движения в системе К можно записать с помощью обратных преобразований Галилея: r=r+Vt, x=x+t, y=y, z=z.

Из преобразования Галилея можно получить закон сложения скоростей при переходе от одной инерциальной системы к другой. Для этого продифференцируем соотношение r=r-Vt по времени: dr/dt=dr/dt-(d/dt)(Vt). Учтём, что dr/dt=u - скорость движения точки Р в системе К, dr/dt=u – скорость движения точки Р в неподвижной системе К. Тогда u=u-V или u=u+V. Аналогичный результат получим дифференцируя r=r+Vt по времени.

Из преобразований Галилея вытекает, что ускорение материальной точки Р в обеих системах координат одинаково.

В соответствии с принципом относительности Галилея законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отчёта.