- •Принцип оптимальності
- •Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування
- •Принцип оптимальності
- •6. Що означає "правильне відтинання"?
- •7. Як розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю кожного виду продукцї?
- •8. Поясніть, що називається областю доступних планів.
- •9. Яка задача математичного програмування називається цілочисловою
- •10. Опишіть алгоритм методу Гоморі
- •11. Як звести задачу лінійного програмування до канонічної форми?
- •12. Як звести відкриту транспортну задачу на закриту?
- •13. Як виробник має змінити план виробництва продукції, щоб уникнути втрат, пов"язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції?
- •14. Як геометрично можна інтерпретувати розв"язок задачі цілочислового програмування?
- •15. Сформулюйте правила побудови двоїстих задач
- •16. Які задачі лінійного програмування можна розв’язати графічним методом
- •17. Сформулюйте умови оптимальності розв’язку задачі симплекс методом
- •18. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування розв’язку транспортної задачі
- •19. У чому сутність теорії двоїстості у лінійному програмуванні
- •20. Для розв’язування яких математичних задач застосовується симплекс метод?
- •21. Як вибрати спрямовуючий вектор-стовпець?
- •22. Що означає "виродження" опорного плану? Як його позбутися?
- •23. Поясніть геометричну інтерпретацію задачі лінійного програмування
- •24. Скільки змінних та обмежень має двоїста задача відповідно до прямої?
- •25. Суть алгоритму симплексного методу.
- •26. Сформулюйте третю теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.
- •27. Назвіть методи розв'язув задач динамічного програмування
- •28. За яких умов задача лінійного програмування з необмеженою областю допустимих планів має розв"язок
- •29. Сформулюйте основні аналітичні властивості розв’язків задачі лінійного програмування.
- •30. Які ви знаете властивості опорних планів транспортної задачі?
- •31. Побудуйте просту економіко-математичну модель. Запишіть до неї двоїсту. Дайте економічну інтерпретацію двоїстих оцінок.
- •32. Економічна і математична постановка транспортної задачі.
- •33. Як впливає на оптимальний план введення нової змінної.
- •35. Чим відрізняється транспортна задача від загальної задачі лінійного програмування?
- •36. Які взаємоспряжені задачі називаються симетричними, а які – несиметричними7 Чим вони відрізняються?
- •37. Опишіть алгоритм методу гілок та меж.
- •38. Сформулюйте задачу динамічного програмування.
- •39. Як визначити статус ресурсів прямої задачі та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно змін запасів дефіцитних ресурсів?
- •40. Суть методу Жордана-Гаусса.
- •41. Назвіть умови оптимальності транспортної задачі.
- •42. Як визначити, що ресурс є дефіцитним (недефіцитним)?
- •43. Суть методу штучного базису.
- •46. Наведіть приклади економічних задач, що належать до класу задач динамічного програмування.
- •47. Які ви знаєте методи побудови опорного плану?
- •48. Який опорний план називається не виродженим?
- •49. Сформулюйте другу теорему двоїстості та її економічне тлумачення.
- •50. Як за розв’язком прямої задачі знайти розв’язок двоїстої?
- •55. Як визначити рентабельність кожного виду продукції, що виготовляється на підприємстві?
- •56. Який план називається опорним?
- •57. Наведіть приклади економічних задач, що належать до цілочислових.
- •62. Як визначити план виробництва продукції та зміну доходу підприємства, якщо збільшити (зменшити) обсяг ресурсів?
- •63. Сформуйте другу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.
62. Як визначити план виробництва продукції та зміну доходу підприємства, якщо збільшити (зменшити) обсяг ресурсів?
Задача пошуку оптимальних обсягів виробництва ґрунтується на допущеннях про лінійність зв’язку між витратами ресурсів і обсягами виготовленої продукції; між ціною, рекламою та попитом тощо. Але такі зв’язки насправді є нелінійними, тому точніші математичні моделі доцільно формулювати в термінах нелінійного програмування. Нехай для деякої виробничої системи необхідно визначити план випуску продукції за умови найкращого способу використання її ресурсів. Відомі загальні запаси кожного ресурсу, норми витрат кожного ресурсу на одиницю продукції та ціни реалізації одиниці виготовленої продукції. Критерії оптимальності можуть бути різними, наприклад, максимізація виручки від реалізації продукції. Така умова подається лінійною залежністю загальної виручки від обсягів проданого товару та цін на одиницю продукції. Обсяг збуту продукції визначається її ціною, отже, як цільову функцію доцільно брати максимізацію не всієї виготовленої, а лише реалізованої продукції. Необхідно визначати також і оптимальний рівень ціни на одиницю продукції, за якої обсяг збуту був би максимальним. Для цього її потрібно ввести в задачу як невідому величину, а обмеження задачі мають враховувати зв’язки між ціною, рекламою та обсягами збуту продукції.Отже, маємо задачу нелінійного програмування. Також добре відома транспортна задача стає нелінійною, якщо вартість перевезення одиниці товару залежить від загального обсягу перевезеного за маршрутом товару. Тобто коефіцієнти при невідомих у цільовій функції, що в лінійній моделі були сталими величинами, залежатимуть від значень невідомих (отже, самі стають невідомими), що знову приводить до нелінійності у функціоналі. І нарешті, будь-яка задача стає нелінійною, якщо в математичній моделі необхідно враховувати умови невизначеності та ризик. Як показник ризику часто використовують дисперсію, тому для врахування обмеженості ризику потрібно вводити нелінійну функцію в систему обмежень, а мінімізація ризику певного процесу досягається дослідженням математичної моделі з нелінійною цільовою функцією. Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
(8.1)
за умов:
(); (8.2)
. (8.3)
Якщо всі функції та , є лінійними, то це задача лінійного програмування, інакше (якщо хоча б одна з функцій є нелінійною) маємо задачу нелінійного програмування.
63. Сформуйте другу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.
Друга теорема двоїстості для симетричних задач. Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:
.
Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану Х* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг bi, то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним». Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові bi, тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва, і його оцінка буде строго більшою від нуля. Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану Y* двоїстої задачі: у разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну сj, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю. Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції cj, то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі .