Непрерывность композиции

Пусть задана функция , со значениями в , и на множестве определена функция со значениями в . Тогда для любого можно вычислить , на можно определить функцию со значениями в по правилу: . Говорят, что функция есть композиция функций и и обозначают . (Функцию называют также сложной функцией).

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то композиция непрерывна в точке . Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример 14. Функция непрерывна на _, как композиция непрерывных функций и , поскольку такая композиция определена для .

Точки разрыва

Непрерывность функции в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны , т.е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

1. и существуют;

2. и конечны;

3. ;

4. .

Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке _.

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Размещено на Allbest.ru