§ 2.7. Свойства распределения Максвелла

В § 2.6 было показано, что вероятность того, что одна частица имеет импульс в интервале от P до P + dP, будет

W₁(p)dp = [c₇ e ^(-p₁²/2mkT)]dp

Чтобы определить вероятность того, что скорость одной частицы лежит в интервале от V до dV, сделаем замену переменных p = mV.

W₁(V)dV = [c₇ e ^(-mV²/2kT)]mdV = c₈ e ^(-mV²/2kT)dV

Определим вероятность того, что проекция скорости первой частицы лежит в интервале от V до dV

dV = dV_xdV_ydV_z

W₁(V_x)dV_x = dV_x∫ W₁(V)dV_y dV_z = dV_x c₈ e ^(-mV_x²/2kT) ∫ e ^[-m(V_y² + V_z²)/2kT] dV_ydV_z = c₉ e ^(-mV_x²/2kT)dV_x

Постоянный коэффициент можно определить из условия нормировки

c₉ = ∫W₁(V_x)dV_x = 1 = (m/2ПkT)^1/2

W₁(V_x)dV_x = (m/2ПkT)^1/2 e ^(-mV_x²/2kT)dV_x

Точно так же находим проекции на оси y и z.

W₁(V)dV = (m/2ПkT)^3/2 e ^(-mV²/2kT)dV

<V_x> = ∫ V_x W₁(V_x)dV_x = ∫ V_x (m/2ПkT)^1/2 e ^(-mV_x²/2kT)dV_x = 0

Определим вероятность того, что величина скорости лежит в интервале от V до dV. Чтобы определить эту вероятность, надо вероятность W₁(V)dV просуммировать по всем направлениям скорости, то есть

W(V)dV = ∫W₁(V)dV = ∫(m/2ПkT)^3/2 e ^(-mV²/2kT)dV

Перейдем к сферическим координатам

V_x, V_y, V_z → V, θ, φ

Экобиан этого преобразования будет V²sinθ

W(V)dV = ∫(m/2ПkT)^3/2 e ^(-mV²/2kT) V²sinθdVdφdθ =

= 4ПV² (m/2ПkT)^3/2e ^(-mV²/2kT) dV

Чтобы определить наиболее вероятную скорость, надо приравнять у нулю производную

W₁(V)/dV = 0

(d/dv)(V² e ^(-mV²/2kT))= 0

V_m = (2kT/m)^1/2

Определим среднюю скорость

<V> = ∫VW₁(V)dV = (4/П)^1/2 (2kT/m)^1/2

Найдем среднюю квадратичную скорость

<V²> = ∫V²W₁(V)dV = 3kT/m

§ 2.8. Идеальный одноатомный газ. Энергия и уравнения состояния

Рассмотрим идеальный одноатомный газ в классическом приближении. Полная энергия газа будет

E = ∑E_i

Здесь используется то, что газ идеальный, так как не учитывается энергия взаимодействия между молекулами. Так как газ одноатомный, то

E_i = mV_i²/2

<E> = ∑<E_i>

<E_i> = m<V_i²>/2

В § 2.7 было показано, что <V_i²> = 3kT/m

<E_i> = 3kT/2

<E> = ∑3kT/2 = 3Nkt/2

Определим среднее давление идеального газа. Как известно, давлением называется

P = F_x/ds

F_x = dP_x/dt

P = mV

Как известно, при упругом столкновении частицы массой m со стенкой ее проекция импульса изменяется на величину 2mV_x. За время dt с поверхностью dS столкнутся все частицы, которые находятся в цилиндрическом объеме.

VdSdt cons = dSdtV_x

Так как в единице объема системы число частиц N/V, то за dt с поверхностью столкнется NV_xdSdt/V частиц. При каждом столкновении импульс меняется на 2mV_x, поэтому полное изменение импульса за dt будет

dP_x = (N/V)2mV_x²dSdt

F_x = dP_x/dt = (N/V)2mV_x²dS

P = F_x/dS = (N/V)2mV_x²

<P> = ∫(N/V)2mV_x²W₁(V_x)dV_x = (N/V)m<V_x²>

<V_x²> = 3kT/m

<V²> = <V_x²> <V_y²><V_z²> = 3<V_x²>

<V_x²> = kT/m

<P> = (N/V)(mkT/m) = NkT/V - уравнение состояния идеального одноатомного газа

<P>V = NkT = (m₀/M)N_AkT = (m₀/M)RT – уравнение Менделеева