§ 2.2. Статистика идеального электронного газа

Рассмотрим макроскопическую систему, состоящую из электронов. Как известно, электроны как любые заряженные частицы взаимодействуют между собой на большом расстоянии, причем сила взаимодействия убывает как 1/R². Таким образом, на первый взгляд систему электронов нельзя рассматривать в качестве идеальной системы, однако когда заряженных частиц очень много, то их коллективное взаимодействие приводит к тому, что шла взаимодействия приводит к тому, что шла взаимодействия будет убывать, как e ^{– R/Rd}, то есть если расстояние между частицами R>>R_D (радиус де Бая), то за счет их взаимной экранировки сила взаимодействия практически будет равна нулю, и такой электронный газ можно считать идеальным.

Так как электроны – это ферми-частицы, то к ним применимо распределение Ферми-Дирака, то есть среднее число электронов в состоянии l с энергией E_l будет

<E_l > = 1/(1 + e^{(μ – El)/kT})

Определим среднее число частиц, энергия которых лежит в бесконечно малом интервале от E до E + dE. Для этого выясним, какие состояния электрона попали внутрь интервала. Затем по распределению Ферми вычислим среднее число частиц в каждом состоянии и сложим их. Если величина интервала dE бесконечно мала, то среднее число частиц в каждом состоянии внутри интервала будет практически одинаково и будет

<E_l > = 1/(1 + e^{(μ – E)/kT})

Если число состояний внутри интервала будет ρ(E)dE, то среднее число частиц в заданном интервале энергии будет

f(E)dE = ρ(E)dE/(1 + e^{(μ – E)/kT})

f(E) – функция распределения частиц по энергии

ρ(E) – плотность состояния

Таким образом, задача сводится к определению числа состояний g(E)dE в заданном интервале энергии. Энергия частиц связана с ее волновым вектором соотношением

E = ħ²k²/2m

Поэтому мы можем сначала определить число состояний g(k)dk, которые лежат в соответствующем интервале волновых чисел от k до k + dk. Найдем сначала число состояний, при которых проекция волнового вектора на ось Ох лежит в интервале от k_x до k_x + dk. В квантовой механике было показано, что, если размер системы k, в такой системе могут существовать частицы с такой длиной волны де Бройля, что на расстоянии h должно укладываться целое число длин волн.

L = λn/2 n = 1, 2…

При этом волновой вектор может принимать значения

k = Πn/L

λ = 2Π/k

В трехмерном случае этот вывод можно распространить на проекцию волнового вектора на собственную ось.

k_x = Πn_x /A n_x = 0, 1, 2…

A – размер системы вдоль оси х

n_x может равняться нулю, так как при этом могут отличаться от нуля другие проекции вектора k.

Если k_x = Πn_x /A, тогда k_x + dk_x = Π(n_x + dn_x)/A

dn_x – число состояний частиц, при котором проекция вектора k на ось x лежит в интервале от k_x до k_x + dk_x.

dk_x = Πn_x /A

dn_x = A dk_x /Π

Точно так же мы можем найти число состояний, при которых проекция вектора k на оси y и z лежат в интервалах от k_y до k_y + dk_y и от k_z до k_z + dk_z .

Определим число состояний, при которых вектор k частицы лежит в интервале от k до k + dk. То есть мы находим число состояний, при которых k не выходит из предела объема. Очевидно, что таких состояний будет

dn_xdn_ydn_z = ABC (dk_xdk_ydk_z) / Π³= V (dk_xdk_ydk_z) / Π³

Определим число состояний, при которых величина вектора k лежит в интервале от k до k + dk. Для того, чтобы вычислить число этих состояний разобьем объем сферической оболочки на бесконечно малые кубики объемами dk_x, dk_y, dk_z. Вычислим число состояний, при которых заданный вектор попадает внутрь этого кубика.

g(k)dk = V/Π³∫dk_xdk_ydk_z = 4Vk²dk/Π²

Таким образом, мы нашли число состояний, при которых величина вектора лежит в заданном интервале. Каждое состояние определяется тремя квантовыми числами n_x, n_y, n_z. При этом мы не учли, что в каждом таком состоянии возможно два значения спина.

g(k)dk = 8Vk²dk/Π²

Для того, чтобы определить число состояний, при которых энергия электрона лежит в интервале от E до E + dE надо в полученной формуле сделать замену переменных.

E = Π²k²/2m

dE = Π²kdk/m

kdk = mdE/ ħ²

g(E)dE = (8V/Π²)(2mE/ħ²)^1/2(mdE/ħ²) = c₀VE^1/2dE

Тогда среднее число частиц будет

f(E)dE = g(E)dE/(1 + e^{(E - μ)/kT}) = c₀VE^1/2dE/(1 + e^{(E - μ)/kT})

Полное число частиц системы будет

N = ∫f(E)dE

Иными словами, полное число частиц системы будет равно площади под кривой функции распределения. Если число частиц постоянно, эта площадь неизменна. Из последнего равенства можно легко определить коэффициент c₀.

N = ∫c₀VE^1/2dE/(1 + e^{(E - μ)/kT})