- •§ 1.1. Микро- и макросистемы. Основной постулат равновесных систем
- •§ 1.2. Система с постоянной энергией. Каноническое распределение
- •§ 1.3. Условие равновесия системы. Аддитивность энтропии
- •§ 1.4. Первое начало термодинамики. Формула Клазиуса
- •1.5. Энтропия системы по Больцману
- •§ 1.6. Системы с переменным числом частиц. Большое каноническое распределение
- •§ 1.7. Равновесие систем с переменным числом частиц
- •§ 1.8. Основное термодинамическое тождество
- •§ 2.1. Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна
- •§ 2.2. Статистика идеального электронного газа
- •§ 2.3. Равновесное электромагнитное излучение. Идеальный фотонный газ
- •§ 2.4. Абсолютно черное тело
- •§ 2.5. Энергия твердых тел. Идеальный фононный газ
- •§ 2.6. Каноническое распределение в классическом приближении. Распределение Максвелла и Больцмана
- •§ 2.7. Свойства распределения Максвелла
- •§ 2.8. Идеальный одноатомный газ. Энергия и уравнения состояния
- •§ 2.9. Теорема о равномерном распределении. Многоатомный идеальный газ
- •§ 2.10. Условие применимости классического приближения и вырождения идеального газа
- •§ 2.11. Теплоемкость газов и твердых тел
§ 2.3. Равновесное электромагнитное излучение. Идеальный фотонный газ
Рассмотрим некоторый замкнутый объем V, в котором находится равновесное электромагнитное излучение. Как известно, любую электромагнитную волну можно представить в виде частиц-фотонов, при этом энергия фотонов будет
E = ħω
c = ω/k – фазовая скорость волны
Таким образом, в замкнутом объеме V находится фотонный газ. Так как электромагнитные волны не взаимодействуют друг с другом, то есть не взаимодействуют между собой фотоны, и мы имеем дело с идеальным газом фотонов. То есть в одной системе может существовать несколько одинаковых электромагнитных волн, то есть фотоны – это бозе-частицы. К ним можно применить распределение Бозе-Эйнштейна, и среднее число фотонов будет
<Nl> = 1/e(El - μ)/kT- 1
При этом энергия одного фотона будет
El = ħωl
При взаимодействии равновесного излучения со стенкой объема V происходит поглощение, отражение и излучение фотонов стенкой, таким образом, число фотонов в объеме изменяется, но энергия излучения остается постоянной.
В § 1.8 было показано, что химический потенциал равен изменению энергии при изменении среднего числа частиц на единицу. В нашем случае число частиц не равно константе, а энергия постоянна. Это означает, что химический потенциал фотонного газа равен нулю.
<Nl> = 1/e ħω/kT- 1
Найдем среднее число фотонов, частота которых лежит в интервале от ω до ω + dω. Для этого выясним сколько состояний фотонов находится внутри интервала. По формуле для <Nl> вычислим число частиц в каждом состоянии, а затем сложим. Если dω бесконечно мала, то среднее число фотонов в каждом состоянии внутри интервала будет примерно одинаково и равно 1/e ħω/kT- 1. Поэтому среднее число частиц в интервале частот будет
f(ω)dω = g(ω)dω/(e ħω/kT- 1)
Для того, чтобы найти число таких состояний, найдем сначала число состояний, при которых проекция волнового вектора лежит в интервале от kx до kx + dkx
dkx = Πdnx /A
dnx = A dkx /Π
То же самое можно получить и для двух других проекций. Определим число состояний, при которых волновой вектор k лежит в интервале от kx до kx + dkx. Очевидно, что число таких состояний будет
dnxdnydnz = ABC (dkxdkydkz) / Π3= V (dkxdkydkz) / Π3
Найдем число состояний, при которых величина волнового вектора k лежит в интервале от k до k + dk. То есть число состояний, при которых конец вектора находится внутри сферической оболочки с радиусом k и dk. Чтобы вычислить число таких состояний разобъем сферическую оболочку на бесконечно малые объемы со сторонами dkx, dky, dkz., вычислить число состояний, при которых вектор попадает внутрь такого объема, и сложим по всей сферической оболочке. Тогда число состояний будет
g(k)dk = V/Π3∫dkxdkydkz = 4Vk2dk/Π2
g(ω)dω = (4V/Π2)(ω2dω/с3)
f(ω)dω = (4V/Π2с3)(ω2dω/(e ħω/kT - 1))
Определим среднюю энергию фотонного газа в интервале частот от ω до ω + dω. Для этого умножим среднее число частиц в заданном интервале на энергию одной чстицы. Тогда средняя энергия фотонного газа в интервале будет
E(ω)dω = ħω f(ω)dω = (4Vħ/Π2с3)(ω3dω/(e ħω/kT - 1))
E(ω) – спектральная плотность излучения
E(ω) = (4Vħω3/Π2с3(e ħω/kT - 1))