3.5.2. Классификация точек на поверхности
М
– точка С2-гладкой
поверхности Ф, заданной вектор-функцией
.
Пусть kn
0 (хотя бы
один коэффициент L,
M,
N
ненулевой)
ПН – касательная плоскость к Ф в точке М.
Рассмотрим прямые плоскости ПН, проходящие через точку М.
На каждой такой
прямой от точки М
по обе стороны отложим отрезки MP
=
,
где kn
– нормальная
кривизна линий на поверхности, для
которых данная прямая является
касательной.
Множество полученных таким образом точек Р образует линию, называемую индикатрисой кривизны (индикатрисой Дюпена)
Франсуа Пьер Шарль Дюпен (1784-1873)
французский геометр и экономист. По образованию – инженер-кораблестроитель.
В 16 лет вывел уравнение циклоиды (циклоида Дюпена).
В области дифференциальной геометрии: доказал теорему, носящую его имя, о пересечении поверхностей ортогональной системы вдоль общих линий кривизны; ввел кривую, позволяющую наглядно представить распределение кривизны поверхности в различных нормальных ее сечениях (индикатрису Дюпена).
Усовершенствовал геометрию световых лучей французского физика и математика Этьена Малюса, что способствовало модернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометрию прямолинейных конгруэнций.
:
L
x2
+ 2M
xy
+ N
y2
= 1
– уравнение
индикатрисы
Дюпена в аффинной системе координат R
= {M,
,
}
(Р(x,
y)
– точки
индикатрисы)
В зависимости от вида индикатрисы Дюпена (кривая второго порядка) проводят классификацию точек поверхности. Она может представлять собой:
1) эллипс, если LN – M2 > 0 => точка М – эллиптическая. Если индикатриса Дюпена – окружность, то т. М называется омбилической.
2) пару сопряженных гипербол, если LN – M2 < 0, точка М – гиперболическая.
3) пару параллельных прямых, если LN – M2 = 0, точка М – параболическая.
Пример. Определить тип точек на поверхности z = x + y2
x
= u
(1;
0; 1) 
(0;
0; 0) 
(0;
0; 0)
y
= v
(0;
1; 2v) 
(0;
0; 2)
z = u + v2
=
= (–1; –2v;
1) => |
|
=
(–
;
–
;
)
L
= 0, M
= 0, N
=
·
=
=> LN
– M2
= 0 => все
точки данной поверхности являются
параболическими.
3.5.3. Главные кривизны поверхности
Определение. Главными кривизнами поверхности называются экстремальные значения нормальных кривизн в заданной точке (если они имеются)
Определение. Касательные к кривым на поверхности, нормальные кривизны которых – главные, называются главными направлениями поверхности.
Главные направления поверхности являются главными направлениями индикатрисы Дюпена.
Определение. Кривая на поверхности, в каждой точке которой касательная направлена по главному направлению, называется линией кривизны поверхности.
Примеры. Параллели и меридианы поверхности вращения являются линиями кривизны.
Главные кривизны k1 и k2 в точке M поверхности являются корнями уравнения:
= 0
или: (EG – F2) k2 – (EN + GL – 2MF) k + (LN – M2) = 0
Пример. Найти главные кривизны поверхности z = x2 + y3 в точке М(1; 1; 2)
x
= u
u
= 1, v
= 1
y
= v
(1;
0; 2u)
= (1; 0; 2) 
(0;
0; 2) 
(0;
0; 0)
z
= u3
+ v3
(0;
1; 3v2)
= (0; 1; 3) 
(0;
0; 6v)
= (0; 0; 6)
=
= (–2; –3; 1) => |
|
=
(–
;
–
;
)
E
= 1 + 4 = 5, F
= 6; G
= 10; L
=
;
M
= 0; N
=
EG
– F2
= 14; EN
+ GL
– 2MF
=
+
=
,
LN
– M2
=
14k2
–
k
+
= 0 => k1,2
=
