3.4. Первая квадратичная форма поверхности
Пусть S
– С1-гладкая
поверхность и
=
(u,
v)
– некоторая
её параметризация
Полный дифференциал
вектор-функции
(u,
v)
равен:
d
=
du
+
dv
Определение. Первой
квадратичной формой
поверхности S
называется квадрат полного дифференциала
d
вектор-функции
(u,
v):
d
=
du2
+ 2
dudv
+
dv2
Обозначения: d
= I,
= E,
= F,
= G
I = Е du2 + 2F dudv + G dv2 – первая квадратичная форма
Замечание. Иногда первую квадратичную форму поверхности называют её линейным элементом.
Свойства первой квадратичной формы
1. Первая квадратичная форма поверхности является положительно определенной.
Следует из
определения: I
= d
,
следовательно, I
– неотрицательна.
2. Первая квадратичная форма не зависит от выбора параметризации поверхности
Следует из инвариантности первого дифференциала (мат. анализ)
В ПДСК: Е
=
=
,
F
=
= xuxv
+ yuyv
+ zuzv;
G
=
=
.
Таким
образом, E,
F
и
G
зависят от точки поверхности.
Пример. S – сфера радиуса R с центром в точке (a; b; c)
x = a + R cos u cos v, y = b + R sin u cos v, z = c + R sin v.
(–R
sin u
cos v;
R
cos u
cos v;
0)
(–R
cos u
sin v;
–R
sin u
sin v;
R
cos v)
E
=
= R2sin2u
cos2v
+ R2cos2u
cos2v
= R2
cos2v
F
=
= R2cos
u
sin u
cos v
sin v
– R2cos
u
sin u
cos v
sin v
= 0
G
=
= R2cos2u
sin2v
+ R2sin2u
sin2v
+ R2cos2v
= R2
I = R2cos2v du2 + R2 dv2
3.4.1. Угол между кривыми на поверхности
Пусть 1 и 2 – две гладкие линии на поверхности S, проходящие через точку М.
Углом между линиями 1 и 2 называют угол между касательными к этим линиям в их общей точке М.
Замечание.
Обозначим через d
и
символы дифференцирования вдоль линий
1
и 2
соответственно. Тогда
и
– векторы касательных к линиям 1
и 2
в точке М.
=
du
+
dv
=
u
+
v
Угол
между 1
и 2
можно вычислить как угол между векторами
и
:
cos
=
=> cos
=
=
=
=>
cos
=
(*)
Пример. Найти углы между кривыми v = u2, v = 1, лежащими на поверхности
x = 5u + 4v, y = 4uv, z = 3v.
Найдем точки пересечения кривых 1: v = u2 и 2: v = 1
u2 = 1
u = 1 M1(1; 1), M2(–1; 1)
1: v = u2 и 2: v = 1
dv = 2u du v = 0
Найдем коэффициенты I: E, F, G в точке М2:
(5;
4v;
0) = (5; 4; 0),
(4;
4u;
3) = (4; –4; 3)
E
=
= 25 + 16 = 41; F
=
= 5 · 4 – 4 · 4 + 0 · 3 = 4; G
=
= 16 + 16 + 9 = 41. Подставив
в (*), имеем: cos
2
=
=
=
=
=
3.4.2. Длина дуги кривой на поверхности
Пусть
– С
1-гладкая
кривая на С
1-гладкой
поверхности S,
и пусть u
= u(t),
v
= v(t)
(
t
)
– внутренние
уравнения дуги АВ
кривой
(значение t
=
соответствует
точке А,
t =
– точке В).
Если вектор-функция
задает поверхность S,
то вектор-функция
(t)
=
(u(t),
v(t))
(
t
)
задает
дугу АВ
в пространстве.
Длина дуги АВ
(обозначим
её через s)
вычисляется по формуле:
s
=
,
откуда: s
=
=
=
или
s
= 
Пример. Найти
длину дуги кривой u
=
av2
(а
0), заключенной между точками А(u =
0, v
= 0) и B(u
= 2a,
v
= 2) поверхности
x
=
(
cos
v
+ sin v),
y
=
(
sin v
–
– cos v),
z
= av
(0
u
< ,
0
v
< 2).
:
u
=
av2
x
=
(
cos
v
+ sin v) x
= u
cos(v
– /6)
du
= av
dv
y
=
(
sin v
– cos v)
или y
= u
sin(v
– /6)
z = av z = av
(cos(v
– /6);
sin(v
– /6);
0)
(–u
sin(v
– /6);
u
cos(v
– /6);
a)
E = 1, F = 0, G = u2 + a2
I = du2
+ (u2
+ a2)
dv2
= (a2v2
+
+ a2)
dv2
= a2
(
+ v2
+ 1) dv2
= a2(
)2
dv2
sAB
=
= (
+ av)
=
+ 2a
=
.