- •Н.Н. Куцый теория информации
- •1. О понятии "информация"
- •2. Этапы обращения информации
- •3. Информационные системы
- •4. Система передачи информации: основные понятия и определения
- •5. Уровни проблем передачи информации
- •6. Теория информации
- •7. Понятия сигнала и его модели
- •8. Формы представления детерминированных сигналов
- •9. Ортогональные представления сигналов
- •10. Временная форма представления сигнала
- •11. Частотная форма представления сигнала. Спектры периодических сигналов
- •12. Распределение энергии в спектре периодического сигнала
- •13. Частотная форма представления сигнала. Спектры непериодических сигналов
- •14. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
- •15.Соотношения между длительностью импульсов и шириной их спектра
- •16.Спектральная плотность мощности детерминированного сигнала
- •17.Функция автокорреляции детерминированного сигнала
- •18.Случайный процесс как модель сигнала
- •19.Стационарные и эргодические процессы
- •20.Спектральное представление случайных сигналов
- •21.Частотное представление стационарных случайных процессов (дискретный спектр)
- •22.Частотное представление стационарных случайных сигналов. Непрерывные спектры
- •23.Основные свойства спектральной плотности
- •24.Преимущества цифровой формы представления сигналов
- •25.Общая постановка задачи дискретизации
- •26.Способы восстановления непрерывного сигнала
- •27.Критерии качества восстановления
- •28.Методы дискретизации посредством выборок
- •29.Равномерная дискретизация. Теорема котельникова
- •30.Теоретические и практические аспекты использования теоремы котельникова
- •31.Дискретизация по критерию наибольшего отклонения
- •32.Адаптивная дискретизация
- •33.Квантование сигнала
- •34.Квантование сигналов при наличии помех
- •35.Геометрическая форма представления сигналов
- •36.Энтропия как мера неопределенности выбора
- •37.Свойства энтропии
- •38.Условная энтропия и её свойства
- •39.Энтропия непрерывного источника информации (дифференциальная энтропия)
- •40.Свойства дифференциальной энтропии
- •41.Количество информации как мера снятой неопределенности
- •42.Эпсилон-энтропия случайной величины
- •43.Информационные характеристики источника сообщений и канала связи. Основные понятия и определения
- •44.Информационные характеристики источника дискретных сообщений
- •45.Информационные характеристики дискретных каналов связи
- •46.Информационные характеристики источника непрерывных сообщений
- •47.Информационные характеристики непрерывных каналов связи
30.Теоретические и практические аспекты использования теоремы котельникова
Соотношения, приведенные выше, как и другие разложения функции, имеют прежде всего теоретическое значений и используются при решении различных задач анализа и синтеза систем связи. В частности, они позволили подойти к вопросу передачи непрерывных и дискретных сигналов с единых позиций.
При этом мы оперируем с математическими абстракциями. Бесконечно протяженную во времени функцию (а только такая и может иметь ограниченный спектр), представляем суммой бесконечного числа бесконечно протяженных во времени составляющих функций (функции отсчётов).
Процедура теоретического восстановления конкретной реализации по её отсчётам сводится к следующему.
На передающей стороне в исходной непрерывной функции через интервалы времени определяются мгновенные значения и передаются в канал связи в виде импульсов с амплитудами и бесконечно малой длительностью , имеющих площади ,равные . На приёмной стороне такая последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр частот, у которого частота среза равна . При длительной передаче сигнал на выходе фильтра будет точно воспроизводить переданный непрерывный сигнал .
Однако использование теоремы как точного утверждения по отношению к реальным сигналам, равно как и попытки организовать на её основе технический способ дискретной передачи непрерывных сигналов, наталкивается на ряд принципиальных трудностей.
Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, при представлении его в частотной области обладает неограниченным спектром.
Однако в силу свойств реальных источников сигналов и ограниченности полосы пропускания реальных каналов спектр с той или иной степенью точности можно считать ограниченным некоторой частотой . Обычно она определяется на основе энергетического критерия. Спектр ограничивается областью частот от 0 до , в которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала (80-95%). Такое ограничение спектра, естественно, приводит к искажению сигнала. Относительная точность воспроизведения сигнала может быть определена из соотношения
,
где энергия отброшенных высокочастотных составляющих сигнала; полная энергия сигнала.
Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала, по отсчётам, полученным по теорем Котельникова при условии ограничения спектра сигнала, возможно только приближенно. Ошибка возникает не только за сёт принудительного ограничения спектра, но и за счёт конечного числа отсчётов в интервале времени , которых в соответствии с теоремой Котельникова будет . Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчёта. соответствующих выборкам за пределами интервала (рис....)
Модель сигнала с ограниченным спектром имеет еще одно теоретическое неудобство. Она не может отображать основное свойство сигнала – способность нести информацию. Причина – возможность теоретического предсказания поведения функции с ограниченным спектром на всей оси времени, если она точно известна на сколь угодно малом отрезке времени.
Указанные принципиальные трудности устраняются, если рассматривать теорему Котельникова как приближенную для функций с неограниченным спектром.
Во-вторых, предполагаемая процедура восстановления вносит весьма существенную дополнительную погрешность. Она возникает потому, что невозможно обеспечить создание импульсов бесконечно малой длительности, как невозможно осуществить их передачу по реальным каналам связи. Кроме того, максимум выходного сигнала, соответствующего реакции идеального фильтра низких частот на дельта-импульс, запаздывает на время, равное бесконечности. За конечное время (рис. )каждая функция отсчёта, а следовательно, и их сумма, представляющая собой исходный непрерывный сигнал, будут сформированы лишь приближенно и тем грубее, чем меньше .
Суммарная погрешность, которая возникает при приемлемой сложности средств технической реализации указанного способа передачи делает его малопригодным для практического использования при восстановлении сигнала даже в случае отсутствия помех в канале связи.
Модель сигнала с ограниченным спектром имеет еще одно теоретическое неудобство. Она не может отображать основное свойство сигнала – способность нести информацию. Причина – возможность теоретического предсказания поведения функции с ограниченным спектром на всей оси времени, если она точно известна на сколь угодно малом отрезке времени.
Указанные принципиальные трудности устраняются, если рассматривать теорему Котельникова как приближенную для функций с неограниченным спектром.
Во-вторых, предполагаемая процедура восстановления вносит весьма существенную дополнительную погрешность. Она возникает потому, что невозможно обеспечить создание импульсов бесконечно малой длительности, как невозможно осуществить их передачу по реальным каналам связи. Кроме того, максимум выходного сигнала, соответствующего реакции идеального фильтра низких частот на дельта-импульс, запаздывает на время, равное бесконечности. За конечное время (рис. )каждая функция отсчёта, а следовательно, и их сумма, представляющая собой исходный непрерывный сигнал, будут сформированы лишь приближенно и тем грубее, чем меньше .
Суммарная погрешность, которая возникает при приемлемой сложности средств технической реализации указанного способа передачи делает его малопригодным для практического использования при восстановлении сигнала даже в случае отсутствия помех в канале связи.
Следует отметить, что в процессе преобразования сигнала в цифровую форму критерий Котельникова используется весьма широко.