11

Дм3. Основы комбинаторики

Df. Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются действия комбинирования над элементами множеств, а также методы исчисления множеств. К простейшим комбинаторным операциям относятся:

образование перестановок, состоящее в установлении порядка следования элементов множества друг за другом;

выборка или выделение из множества некоторой части.

В ходе комбинаторных действий над элементами первичного множества мы получаем производное множество комбинаций, в простейшем случае перестановок или выборок. Результат в исчислении производных множеств достигается использованием правил сложения, вычитания и умножения, а также выведенных из них специальных формул.

Аксиома (правило сложения). Численность суммы двух непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.

(1) .

#. В корзине 5 гладиолусов и 7 пионов. Подсчитаем количество цветков в корзине.

Множество цветов есть объединение двух непересекающихся множеств:

.

Тогда по правилу сложения искомое число равно сумме численностей классов: 5+7=12.

Следствие. Правило сложения можно распространить на произвольное количество попарно непересекающихся множеств.

Так для трех попарно непересекающихся множеств:

.

Теорема (правило вычитания). Численность дополнения множества A равна численности универсума (множества U) минус численность множества A:

(2) .

Следствие. Численность разности множеств A и B равна численности уменьшаемого множества минус численность пересечения этих множеств:

(3) .

Правило сложения удобно использовать, разбивая исчисляемое множество на классы, в которых подсчёт элементов несложен.

#. В меню столовой имеется: {первые блюда}={уха; харчо; суп овощной}, {вторые блюда}={гуляш; котлета говяжья; сосиска отварная; биточки рыбные; рыба в тесте; котлета картофельная; перец маринованный; каша манная; каша рисовая}. Узнать количество различных обедов из двух блюд, если они составляются только из мясных, либо только из рыбных, либо только из вегетарианских блюд.

Решение. Выделим классы:

C₁={мясные обеды}={(харчо; y)| yV₁}, где V₁={гуляш; котлета говяжья; сосиска отварная};

C₂={рыбные обеды}={(уха; y)| y V₂}, где V₂={биточки рыбные; рыба в тесте};

C₃={вегетарианские обеды}={(суп овощной; y)| yV₃}, где V₃={котлета картофельная; перец: каша манная; каша рисовая}.

По правилу сложения

.

Теорема (правило умножения). Если при выполнении двух действий первое можно выполнить n₁ способами, а затем, независимо от варианта выбора первого действия, второе действие — n₂ способами, то эта упорядоченная пара действий выполняется n₁n₂ способами.

#3. Из пункта A в пункт B ведут 4 дороги, а из B в пункт C — 3 дороги. Сколькими различными путями можно прибыть из A в C?

Ответ: 43=12 путями.

 Обозначим множество вариантов первого действия X. Пронумеруем его элементы: . Множество W различных упорядоченных пар действий вида разобьем на классы по варианту выбора первого действия:

,

,

…

.

В соответствии с условием теоремы получаем n₁ классов. Число пар в каждом классе равно n₂, поскольку пары одного класса различаются вариантом исполнения второго действия, а по условию теоремы их количество в каждом классе n₂. К объединению классов

применимо правило сложения. Тогда численность множества W:

. 

Следствие 1. Правило умножения допускает распространение на цепочки любого числа действий.

Следствие 2. Численность декартова произведения двух множеств равна произведению численностей этих множеств. Или в символической записи:

(4) .