12. Распределение энергии в спектре периодического сигнала

Рассмотрим, как распределяется энергия сложного периодического сигнала по его спектральным составляющим. Под временной функцией будем подразумевать электрическое напряжение на резисторе в 1 Ом. Энергия которая выделится на этом резисторе за время, равное периоду колебаний

Используя спектральное представление в виде ряда Фурье (11.2), т.е.

получим

Появление добавочного индекса следует объяснить как следствие появление второй суммы и тем самым необходимо отобразить сомножители вида при .

Определим значения интегралов в этом выражении

при для чего применим формулу Эйлера³ к подынтегральному выражению

.

Так как нас интересует только активная часть энергии, то во внимание принимается только первый интеграл

.^

Так как и комплексно сопряжены, то

Поясним появление модуля в этом выражении. Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всего комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа обозначается как , и он равен

.

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа выражение для можно упростить и имеют один и тот же модуль.

С учётом (11.4) и (11.15), т.е.

выражение для можно упростить

Из этого выражения следует, что средняя за период энергия сложного периодического сигнала равна сумме средних энергий, которые выделяются на резисторе в 1 Ом каждой его гармоникой в отдельности (включая постоянную составляющую).

С течением времени выделяемая энергия безгранично растет, при этом средняя мощность остается неизменной

Важно отметить, что она не зависит от фаз отдельных гармоник и, следовательно, будет сохранять свое значение при изменениях формы сигнала, обусловленных нарушениями фазовых соотношений гармоник спектра.

13. Частотная форма представления сигнала. Спектры непериодических сигналов

Любой физически реализуемый сигнал ограничен во времени и обладает конечной энергией. Функции, которые отображают реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и абсолютно интегрируемы, т.е.

где конечная величина.

Модели таких сигналов также могут представлены совокупностью гармонических составляющих в соответствии с выражением (8.2)

Конкретный вид спектрального преобразования для непериодического сигнала получим, проследив изменения, которые происходят в спектре периодической последовательности при увеличении периода их повторения.

Приведём без вывода выражение, которое определяет спектр амплитуд периодической последовательности импульсов

Здесь - амплитуда импульсов; - период повторения импульсов; - длительность импульсов; - частота повторения импульсов. Абсолютные значения амплитуд спектральных составляющих в (11.4), т.е.

при увеличении периода уменьшаются. Так как частоты составляющих спектра кратны основной частоте, то при её уменьшении линии на спектральной диаграмме сближаются.

Спектральные представления для одиночного импульса получим как следствие увеличения периода сигнала до бесконечности.

Пару преобразований Фурье для периодической функции запишем в форме

При импульс переходит в частота уменьшается до а превращается в текущую частоту Заменяя суммирование интегрированием, находим

Обозначив интеграл в скобках как , получим формулы для прямого и обратного преобразования Фурье

(13.3)

Величину называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность (амплитуда/частота). На каждой конкретной частоте амплитуда равна конкретному значению. Сравнивая (11.2), т.е.

и (13.3), находим, что бесконечно малому интервалу частоты соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой

Сравнение выражение (13.2) для спектральной характеристики функции заданной на интервале времени с формулой (11.4) для огибающей комплексного спектра такой же функции, периодически продолжающейся во времени, т.е.

,

показывает, что они различаются только множителем

Поэтому по известной спектральной характеристике одиночного импульса можно построить линейчатый спектр в их периодической последовательности. Соотношением (13.5) объясняется и тот факт, что для различных представлений спектральной характеристики имеют место формулы, весьма похожие на (11.5) - (11.11).

Как комплексная величина спектральная характеристика может быть записана в виде

где - называется спектральной плотностью амплитуд или спектром непериодического сигнала, аргумент спектральной характеристики, взятый с обратным знаком, называется фазовым спектром. С учётом последнего запишем

.

Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. Представим спектральную характеристику состоящей из действительной и мнимой частей

где

Модуль спектральной характеристики определяется выражением

и представляет собой четную функцию частоты.

Для спектральной характеристики соответственно получаем

Так как из (13.7) и (13.8) следует, что четная функция частоты, а нечетная, то функция относительно частоты нечетна.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье приводится к тригонометрической

Второй член в связи с нечетностью подынтегрального выражения равен нулю.

Окончательно имеем

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализаций, не очень далеких от реальности.