1.3. Ошибка регулирования и отклонение

Действительные значения регулируемой величины в реальных САР отличаются от предписанных. Разность между предписанным и действительным значениями регулируемой величины называется ошибкой регулирования.

∆x_з(t) = x_з – x(t) – ошибка регулирования

х_з – предписанное (заданное) значение управляемой величины;

x(t) – ее текущее значение

В процессе функционирования САР может переходить от одного состояния, принимаемого за исходное, в другое. Разность между текущими значениями регулируемой величины и значением, соответствующим исходному состоянию, принято называть отклонением регулируемой величины

∆x₀(t) = x(t) – x₀(t) (1.3)

где x_o – значение регулируемой величины в исходном состоянии.

x₀(t) – исходное значение регулируемой величины.

Рис. 1.3. Изменение значения регулируемой величины в процессе регулирования

1.4. Статическое и астатическое регулирование

В зависимости от того, является или нет ошибка регулирования функцией возмущающего воздействия в установившемся режиме, различают статическое и астатическое регулирование.

При статическом регулировании ошибка регулирования возрастает с увеличением значения возмущающего воздействия. Пример статического регулирования приведен на рис. 1.4, а).

а)

б)

в)

Рис. 1.4. Пример статического регулятора и его характеристика (1 – генератор; 2 – электронный усилитель, 3 – регулировочный реостат, Uг – напряжение генератора (регулируемый параметр);Uзад – задающее воздействие, которое равно заданному (предписанному) значению напряжения генератора; Pг – активная мощность генератора (возмущающее воздействие); UИП – напряжение источника питания; UОВ – напряжения обмотки возбуждения; ΔU – входное напряжения электронного усилителя)

Принцип действия этого регулятора достаточно ясно виден из рассмотрения схемы и особых пояснений не требует. Заметим лишь, что требуемого возбуждение генератора 1 осуществляется путем изменения входного сигнала (ΔU) электронного усилителя 2. В свою очередь этот сигнал пропорционален отклонению регулируемого параметра U_г от заданного значения U_зад (ΔU=U_г–U_зад). Поэтому такое отклонение, т.е. наличие ΔU, является неизбежным и должно быть тем больше, чем больше изменяется величина внешнего возмущения P_г. Очевидно, что это отклонение регулируемого параметра от заданного значения сохраняется также и в установившемся режиме.

Рабочая характеристика (зависимость напряжения генератора от нагрузки – активной мощности Pг) статического регулятора приведена на рис. 1.4, б).

На рис. 1.4, в) показан переходный процесс в системе при уменьшении нагрузки генератора.

Регулированием с астатической характеристикой называется такое регулирование, при котором в установившемся состоянии системы отклонение регулируемого параметра от заданного значения равно нулю при любой величине внешнего возмущения. Равновесие системы имеет место всегда при заданном значении регулируемого параметра.

Пример астатического регулирования приведен на рис. 1.5, а).

а)

б)

в)

Рис. 1.5. Пример астатического регулятора и его характеристика (1 – генератор; 2 – электронный усилитель; 3 – якорь двигателя постоянного тока; 4, 5 – регулировочные реостаты, Uг – напряжение генератора (регулируемый параметр); Uзад – задающее воздействие, которое равно заданному (предписанному) значению напряжения генератора; Pг – активная мощность генератора (возмущающее воздействие); UИП1, UИП2 – напряжения источников питания №1 и №2; UОВ1 и UОВ3 – напряжения обмоток возбуждений генератора и двигателя; ΔU – входное напряжения электронного усилителя; Uвых –напряжение на выходе электронного усилителя)

Характеристика астатического регулятора приведена на рис. 1.5, б), а кривая переходного процесса – на рис. 1.5, в).

При увеличении нагрузки на генераторе, т.е. увеличении активной мощности генератора P_г, уменьшается напряжение на его выводах U_г, что приводит к появлению отклонения регулируемого параметра U_г от заданного значения U_зад (ΔU=U_г–U_зад). Параметр U_зад задается регулировочным реостатом 5. При этом появляется напряжение на якоре двигателя постоянного тока U_вых, и двигатель начинает перемещать контакт регулировочного реостата 4 по часовой стрелке, что приводит к увеличению тока возбуждения генератора I_ОВ1, а значит, и напряжения на его выводах U_г. Параметр U_г будет увеличиваться до тех пор, пока ошибка регулирования ΔU не станет равной 0.

Астатические САР обеспечивают высокую точность регулирования. Однако по сравнению со статическими они являются более сложными и инерционными, т.е. процессы регулирования в них являются замедленными.

1.5. Линейные и нелинейные системы. Линеаризация уравнений

Системы, процессы в которых могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, называются линейными. Для линейных систем применим принцип суперпозиции, позволяющий рассматривать независимое прохождение воздействий, что дает существенное упрощение (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Принцип суперпозиции

Нелинейной называется система, для описания процессов в которой приходится применять одно или несколько нелинейных уравнений. К нелинейным относятся уравнения, коэффициенты которых зависят от значений переменных величин или их производных, а также уравнения, содержащие произведения или степени (выше первой) этих величин.

Строго говоря, линейных САУ в технике практически нет или очень мало. Однако большинство систем при определенных условиях могут рассматриваться как линейные. Так, если оценивать поведение системы при малых отклонениях величин от исходных значений, то в большинстве случаев имеющей место нелинейностью можно пренебречь. Такая возможность имеет математическое обоснование.

Пусть имеем некоторую непрерывную функцию F(x) (рис. 1.7).

Если аргумент X получил приращение ΔX от исходного значения X_o, то функция получит приращение ΔF(X). Новое значение функции F(X) можно разложить в ряд Тейлора:

Рис. 1.7. Пример линеаризации нелинейной функции

При малых значениях Δx можно ограничиться только первыми двумя членами разложения, т.к. остальные имеют более высокий порядок малости, т.е. можно считать

,

где .

Теоретически это означает, что на интервале ±Δx (рис. 1.6) кривая F(x) заменяется прямой линией, являющейся касательной при x=x_o.

Таким образом, если составлять уравнение системы не для полных значений величин, а только для отклонений, то эти уравнения будут линейными. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Следует, однако, отметить, что это справедливо только для тех случаев, когда нелинейные функции являются непрерывными и имеют непрерывные производные при x=x_o.

Пример линеаризации нелинейного элемента системы.

В качестве типового элемента, уравнение которого подлежит линеаризации, возьмем RL-элемент, часто встречающийся в электрических системах регулирования и изображенный на рис. 1.8, а). Пусть входной и выходной величинами такого элемента являются напряжения.

а)	б)
Рис. 1.8. Линеаризация нелинейного элемента системы

Предположим сначала, что активные сопротивления и индуктивность не зависят от протекающего через них тока, т.е. будем считать, что элемент является линейным.

Тогда дифференциальное уравнение элемента в случае, если потокосцепление  катушки элементазависит от тока линейно, т.е. если индуктивность L=/i не зависит от тока и является величиной постоянной, имеет вид:

Обозначив и , учитывая, что , и пользуясь операторной (символической) формой записи, в которой принято , получим:

(1.3)

Предположим теперь, что в рассматриваемом примере индуктивность зависит от тока и, следовательно, элемент является нелинейным. Тогда уравнение (1.3) для такого элемента неправомерно, ибо потокосцепление  зависит от тока нелинейно и, следовательно, L=/i есть величина переменная. Для усатновившегося режима элемента при входном постоянном напряжении u_вх потокосцепление ₀ тоже постоянно во времени и, следовательно, . Тогда можно написать:

.

Изменение входного напряжения повлечет за собой изменение тока и выходного напряжения.

Текущие значения u_вх и u_вых и i можно представить так:

;

;

,

где Δu_вх, Δu_вых и Δi – отклонения соответствующих величин от их установившихся значений.

Пусть потокосцепление является нелинейной функцией тока, как это показано на рис. 1.8, б). Эту функцию можно разложить в ряд:

(1.4)

При достаточно малых отклонения тока можно ограничиться первыми двумя членами ряда. Величина определяется тангенсом угла наклона касательной к кривой, приведенной на рис. 1.8,б), в точке с абсциссой i₀.

Обозначив динамическую индуктивность элемента для тока i₀ через L_д, т. е. , можем написать:

.

Так как , то будем иметь:

.

Исходное уравнение запишется теперь так:

,

или, подставляя ранее найденное выражение для u_вых0, получим:

.

Последнее выражение является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, которое можно записать в операторной форме так:

(1.5)

где и k=1.

Оно справедливо только для малых отклонений входной и выходной величины относительно начального значения u_вх0.